Question

把兩個邊長都等于4的等邊三角形拼成菱形ABCD（如下圖）．有一個含60°角的三角尺，使三角尺的60°角的頂點與點A重合，兩邊分別與AB，AC重合．
（1）將三角尺繞點A按逆時針方向旋轉，當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD相交于點E，F時（如圖1），通過觀察或測量AE，AF的長度，你能得出什么結論？并證明你的結論；
（2）在旋轉過程中四邊形AECF的周長是否發生變化？如果沒有變化，請說明理由；如果有變化，請求出周長的最小值；
（3）若將（1）中三角尺的60°角的頂點P在AC上移動且與點A、C都不重合，三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD相交于點E、F時（如圖3），那么PE、PF之間又有什么數量關系？并證明你的結論．

Answer 1

（1）AE=AF．
證明：在△ABE和△ACF中，
∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°，
∴∠BAE=∠CAF．
∵AB=AC，∠B=∠ACF=60°，∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴AE=AF．

（2）解：周長是變化的．
由△ABE≌△ACF（ASA）得到BE=CF，所以CF+CE=BC，
當AE、AF最短時，即AE⊥BC、AF⊥CD，周長最小，
周長最小值為4+；

（3）證明：
過點P作PM⊥BC、PN⊥CD，垂足分別為M、N．
∴∠PME=∠PNF=90°，∵在菱形ABCD中，
CA平分∠BCD，∴PM=PN，
∵∠BCD=120°，∠EPF=60°，
∴∠PEC+∠PFC=360°-（120°+60°）
=180°，
∵∠PFN+∠PFC=180°，
∴∠PEC=∠PFN，
又∵∠PME=∠PNF，PM=PN，∴△PEM≌△PFN，∴PE=PF．
分析：（1）根據已知得出∠BAE=∠CAF，AB=AC，∠B=∠ACF=60°，即可得出△ABE≌△ACF即可得出答案；
（2）由△ABE≌△ACF（ASA）得到BE=CF，所以CF+CE=BC，當AE、AF最短時，即AE⊥BC、AF⊥CD，周長最小；
（3）利用菱形的性質得出∠PEC=∠PFN，再利用∠PME=∠PNF，PM=PN，得出△PEM≌△PFN，即可得出答案．
點評：此題主要考查了全等三角形的判定以及菱形的性質等知識，利用已知得出∠PEC=∠PFN，靈活的應用全等的判定是解決問題的關鍵．