Question

閱讀下面材料，并解決問題：
由平方根的定義，我們知道(

5

)2=5，2

3

×

3

=2×(

3

)2=2×3=6，(

7

+

2

)(

7

-

2

)=(

7

)2-(

2

)2=7-2=5…，如果兩個無理數相乘的積是有理數，我們稱它們是互為有理化因式，如

3

與2

3

是互為有理化因式；

7

-

2

與

7

+

2

是互有理化因式．
（1）

 

與3

2

是互為有理化因式；

 

與

5

+1是互為有理化因式．
這種方法可以將分母是無理數的化為分母是有理數，這個過程稱為分母有理化，如：

1

2

=

1× 2

2 × 2

=

2

2

，

1

3 + 2

=

3 - 2

( 3 + 2 )( 3 - 2 )

=

3 - 2

( 3 )2-( 2 )2

=

3 - 2

3-2

=

3 - 2

2

=

3

-

2

．
（2）

1

5

分母有理化的結果為

 

；

2

3 +1

分母有理化的結果為

 

．
（3）利用以上知識計算：

1

2 +1

+

1

3 + 2

+

1

4 + 3

+…+

1

100 + 99

Answer 1

分析：根據互為有理化因式和分母有理化的定義可以解決這道題目．
如果兩個無理數相乘的積是有理數，我們稱它們是互為有理化因式；可以將分母是無理數的化為分母是有理數，這個過程稱為分母有理化．

解答：解：（1）

2

與3

2

相乘等于6，因此3

2

與

2

互為有理化因式，

5

-1與

5

+1相乘的結果是4，因此

5

+1與

5

-1互為有理化因式，
故應填

2

；

5

-1．
（2）

1

5

=

5

5 × 5

=

5

5

；

2

3 +1

=

2( 3 -1)

( 3 +1)( 3 -1)

=

3

-1；
故應填

5

5

、

3

-1．
（3）把

1

2 +1

+

1

3 + 2

+

1

4 + 3

+…+

1

100 + 99

分母有理化得

2

-1+

3

-

2

+

4

-

3

+…+

100

-

99

=-1+10=9．
故結果為9．

點評：主要考查二次根式的有理化．根據二次根式的乘除法法則進行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特點的式子．即一項符號和絕對值相同，另一項符號相反絕對值相同．