Question

【題目】如圖所示，正比例函數y= x的圖象與反比例函數y= （k≠0）在第一象限的圖象交于點 ，過點A作X軸的垂線，垂足為M，已知△AOM的面積為1．

（1）求反比例函數的解析式；
（2）如果點 為反比例函數在第一象限圖象上的點（點 與點 不重合），且點 的橫坐標為1，在 軸上求一點 ，使 最小．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據題意可設A點的坐標為（a，b），則b= ．∴ab=k ．

∵△AOM的面積為1．

∴ ab=1 ，

∴ k=1 ．

∴ k=2．

∴ 反比例函數的解析式為y=

（2）解：由 得 或 ，

∵A在第一象限，

∴ A為（2，1），設A點關于x軸的對稱點為C，

則C點的坐標為（2，-1）如要在x軸上求一點P，使PA+PB最小．

則P點應為BC和x軸的交點，

如圖所示．設直線BC的解析式為y=mx+n．

∵ B為（1，2），

∴ ，解得： ，

∴ BC的解析式為y=-3x+5．
當y=0時，-3x+5=0，x=-,

∴ P點坐標為（ -，0）

【解析】（1）根據題意可設A點的坐標為（a，b），△AOM的面積為1，由反比例函數的k的幾何意義，可得出ab=2，即|k|=2，k＞0，即可求出反比例函數的解析式。
（2）要在x軸上求作一點P，而A、B兩點的x軸的同一側，作點A關于x軸的對稱點C，連接BC交x軸于點P，先求出點C和點B的坐標，再求出直線BC的函數解析式，然后求出當y=0時，x的值，即可求出點P餓坐標。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解確定一次函數的表達式的相關知識，掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法，以及對軸對稱-最短路線問題的理解，了解已知起點結點，求最短路徑；與確定起點相反，已知終點結點，求最短路徑；已知起點和終點，求兩結點之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑．