Question

【題目】如圖，一次函數 的圖象分別與x軸、y軸交于A、B，以線段AB為邊在第一象限內作等腰Rt△ABC，使∠BAC=90°．

（1）分別求點A、C的坐標；
（2）在x軸上求一點P，使它到B、C兩點的距離之和最小．

Answer 1

【答案】
（1）解：作CD⊥x軸，

∵∠OAB+∠CAD=90°，∠CAD+∠ACD=90°，

∴∠OAB=∠ACD，

在△ABO和△CAD中，

，

∴△ABO≌△CAD（AAS）

∴AD=OB，CD=OA，

∵y=﹣x+2與x軸、y軸交于點A、B，

∴A（2，0），B（0，2），

∴點C坐標為（4，2）

（2）解：作C點關于x軸對稱點E，連接BE，

則E點坐標為（4，﹣2），△ACD≌△AED，

∴AE=AC，

∴直線BE解析式為y=﹣x+2，

設點P坐標為（x，0），

則（x，0）位于直線BE上，

∴點P坐標為（2，0）于點A重合

【解析】（1）作CD⊥x軸，易證∠OAB=∠ACD，即可證明△ABO≌△CAD，可得AD=OB，CD=OA，即可解題；（2）作C點關于x軸對稱點E，連接BE，即可求得E點坐標，根據點P在直線BE上即可求得點P坐標，即可解題．
【考點精析】利用等腰直角三角形和軸對稱-最短路線問題對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；已知起點結點，求最短路徑；與確定起點相反，已知終點結點，求最短路徑；已知起點和終點，求兩結點之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑．