Question

【題目】如圖，在ABCD中，BD=2AB，AC與BD相交于點O，點E、F、G分別是OC、OB、AD的中點． 求證：

（1）DE⊥OC；
（2）EG=EF．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC與BD相交于點O，

∴BD=2OD，AB=CD，AD=BC．

∵BD=2AB，

∴OD=AB=CD．

∵點E是OC的中點，

∴DE⊥OC

（2）證明：∵DE⊥OC，點G是AD的中點，

∴EG= AD；

∵點E、F分別是OC、OB的中點．

∴EF= BC．

∵AD=BC，

∴EG=EF

【解析】（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，AC與BD相交于點O，根據平行四邊形的性質，即可得BD=2OD，AB=CD，AD=BC，又由BD=2AB，可得△ODC是等腰三角形，根據三線合一的性質，即可證得DE⊥OC；（2）由DE⊥OC，點G是AD的中點，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得EG= AD，又由三角形中位線的性質，求得EF= BC，則可證得EG=EF．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解三角形中位線定理的相關知識，掌握連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半，以及對平行四邊形的性質的理解，了解平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．