Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，BD=4，CD=2，∠ADB=3∠ABD，則AD= ．

Answer 1

【答案】．

【解析】

試題分析：如圖，作BD的垂直平分線，交AB于點E，連接DE，設∠ABD=α，證明∠AED=∠ADE=2α，AE=AD；證明AE=2BE（設為2λ），得到AD=AE=2λ；利用勾股定理，可證明4λ2﹣4=9λ2﹣36，解得：λ=，求出AD即可解決問題．

解：如圖，作BD的垂直平分線，交AB于點E，連接DE，設∠ABD=α，設BE=λ，

則BE=DE=λ，BF=DF=2，CF=4；

∴∠ABD=∠EDB=α；

∵∠AED=∠ABD+∠EDB=2α，∠ADB=3∠ABD=3α，

∴∠AED=∠ADE=2α，AE=AD；

∵EF⊥BC，AC⊥BC，

∴EF∥AC，==2，

∴AE=2BE=2λ，

∴AD=AE=2λ；

由勾股定理得：

AC2=AD2﹣DC2=4λ2﹣4，

AC2=AB2﹣BC2=9λ2﹣36，

∴4λ2﹣4=9λ2﹣36，

解得：λ=，

∴AD=，

故答案為：．