Question

【題目】在正方形ABCD中，連接BD．
（1）如圖1，AE⊥BD于E．直接寫出∠BAE的度數．

（2）如圖1，在（1）的條件下，將△AEB以A旋轉中心，沿逆時針方向旋轉30°后得到△AB′E′，AB′與BD交于M，AE′的延長線與BD交于N．
①依題意補全圖1；
②用等式表示線段BM、DN和MN之間的數量關系，并證明．
（3）如圖2，E、F是邊BC、CD上的點，△CEF周長是正方形ABCD周長的一半，AE、AF分別與BD交于M、N，寫出判斷線段BM、DN、MN之間數量關系的思路．（不必寫出完整推理過程）

Answer 1

【答案】
（1）解：∵BD是正方形ABCD的對角線，

∴∠ABD=∠ADB=45°，

∵AE⊥BD，

∴∠ABE=∠BAE=45°，

（2）解：①依題意補全圖形，如圖1所示，

②BM、DN和MN之間的數量關系是BM2+MD2=MN2，

將△AND繞點D順時針旋轉90°，得到△AFB，

∴∠ADB=∠FBA，∠BAF=∠DAN，DN=BF，AF=AN，

∵在正方形ABCD中，AE⊥BD，

∴∠ADB=∠ABD=45°，

∴∠FBM=∠FBA+∠ABD=∠ADB+∠ABD=90°，

在Rt△BFM中，根據勾股定理得，FB2+BM2=FM2，

∵旋轉△ANE得到AB1E1，

∴∠E1AB1=45°，

∴∠BAB1+∠DAN=90°﹣45°=45°，

∵∠BAF=DAN，

∴∠BAB1+∠BAF=45°，

∴∠FAM=45°，

∴∠FAM=∠E1AB1，

∵AM=AM，AF=AN，

∴△AFM≌△ANM，

∴FM=MN，

∵FB2+BM2=FM2，

∴DN2+BM2=MN2，

（3）解：如圖2，

將△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABG，

∴DF=GB，

∵正方形ABCD的周長為4AB，

△CEF周長為EF+EC+CF，

∵△CEF周長是正方形ABCD周長的一半，

∴4AB=2（EF+EC+CF），

∴2AB=EF+EC+CF

∵EC=AB﹣BE，CF=AB﹣DF，

∴2AB=EF+AB﹣BE+AB﹣DF，

∴EF=DF+BE，

∵DF=GB，

∴EF=GB+BE=GE，

由旋轉得到AD=AG=AB，

∵AM=AM，

∴△AEG≌△AEF，

∠EAG=∠EAF=45°，

和（2）的②一樣，得到DN2+BM2=MN2．

【解析】（1）利用正方形性質和等腰直角三角形性質可求出；（2）通過旋轉構造全等三角形，即△AND全等于△AFB， 進而∠FBM=∠FBA+∠ABD=∠ADB+∠ABD=90°，得到△AFM≌△ANM，轉化FM=MN，進而得出三邊之間的勾股關系; （3）借鑒（2）的思路方法，仍可采用旋轉法，構造全等三角形△ADF△ABG，進一步△AEG≌△AEF，得出三邊之間的關系.
【考點精析】關于本題考查的勾股定理的概念，需要了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正確答案．