Question

如圖，點B在反比例函數y=

4

x

（ x＞0）的圖象上，且OB=

17

，AB⊥OA，AB=4OA．
（1）求B點坐標；
（2）將三角形OAB沿OB折疊，使A點落在點A′處，A′B與y軸交于點F，求線段BF的長度；
（3）在y軸上是否存在點P，使三角形OBP是直角三角形？如果存在，求出P點坐標；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由AB=4OA，設OA=b，可得出AB=4b，在直角三角形AOB中，由OB的長，利用勾股定理列出關于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可確定出B的坐標；
（2）如圖2，過B作BE垂直于x軸，由BA與y軸平行，得到一對內錯角相等，再由折疊的性質得到一對角相等，等量代換得到∠OFB=∠OBF，利用等角對等邊得到BF=OF，由OE=4，設OF=BF=x，得到EF=4-x，根據BE=1，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出BF的長；
（3）如圖1所示，分三種情況考慮：當∠BPO=90°時，根據B的縱坐標求出P₁的坐標；當∠OBP=90°時，由一對直角相等及一對公共角，得到△OBP₁∽△OP₂B，由相似得比例得到OB²=OP₁•OP₂，求出OP₂的長，確定出P₂的坐標；當∠POB=90°時不存在，綜上，得到滿足題意P的坐標．

解答：
解：（1）由AB=4OA，設OA=b，得到AB=4b，
在Rt△AOB中，根據勾股定理得：OB²=AB²+OA²，即17=b²+16b²，
解得：b=1，得到AB=4，OA=1，
∴B（1，4）；

（2）如圖2，過B作BE⊥y軸，由B（1，4），得到BE=1，OE=4，
∵AB∥y軸，
∴∠FOB=∠ABO，
由折疊得：∠ABO=∠A′BO，
∴∠FOB=∠A′BO，
∴FB=FO，
設EF=x，可得FB=FO=OE-EF=4-x，
在Rt△BEF中，利用勾股定理得：x²=（4-x）²+1，
解得：x=

17

8

，
則BF=4-

17

8

=

15

8

；

（3）存在，如圖1所示，
當∠BPO=90°時，P₁（0，4）；
當∠OBP=90°時，
∵∠P₁OB=∠BOP₂，∠BP₁O=∠P₂OB=90°，
∴△OBP₁∽△OP₂B，
∴OB²=OP₁•OP₂，即17=4OP₂，
∴OP₂=

17

4

，即P₂（0，

17

4

）；
當∠POB=90°時不存在，
綜上，P的坐標為（0，4）或（0，

17

4

）．

點評：此題考查了反比例函數綜合題，涉及的知識有：勾股定理，坐標與圖形性質，折疊的性質，相似三角形的判定與性質，利用了方程及分類討論的思想，分類討論時注意考慮問題要全面．