Question

【題目】如圖，二次函數的圖象與x軸相交于點A（－3，0）B（－1，0），與y軸相交于點C（0，3），點P是該圖象上的動點；一次函數y＝kx－4k（k≠0）的圖象過點P交x軸于點Q．

（1）求該二次函數的解析式；

（2）當點P的坐標為（－4，m）時，求證：∠OPC＝∠AQC；

（3）點M、N分別在線段AQ、CQ上，點M以每秒3個單位長度的速度從點A向點Q運動，同時，點N以每秒1個單位長度的速度從點C向點Q運動，當點M、N中有一點到達Q點時，兩點同時停止運動，設運動時間為t秒．

①連接AN，當△AMN的面積最大時，求t的值；

②線段PQ能否垂直平分線段MN？如果能，請求出此時直線PQ的函數關系式；如果不能請說明你的理由．

Answer 1

【答案】（1）y=+4x+3；（2）證明過程見解析；（3）①、t=；②、y=.

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數法求出函數解析式；（2）根據題意得出點P的坐標，從而得出PC∥x軸，根據一次函數的性質得出點Q的坐標和OQ的長度，從而得出四邊形POQC為平行四邊形，從而得出答案；（3）過點N作ND⊥x軸于點D，得到△QND∽△QCO，根據Rt△OCQ得出CQ的長度，根據相似得出ND的長度，然后得出S與t的函數關系式，求出最大值；假設PQ垂直平分線段MN，則QM＝NQ，根據Rt△MND∽Rt△EQM，得出段E的坐標，然后求出直線QE的函數解析式.

試題解析：（1）拋物線的解析式為：y＝＋4x＋3

（2）當x＝－4時，y＝3，∴P（－4，3）．

∵C（0，3），∴PC＝4且PC∥x軸．

∵一次函數y＝kx－4k（k≠0）的圖象交x軸于點Q，當y＝0時，x＝4，

∴Q（4，0），即OQ＝4．∴PC＝OQ，

又∵PC∥x軸， ∴四邊形POQC是平行四邊形

∴∠OPC＝∠AQC．

（3）①、過點N作ND⊥x軸于點D，則ND∥y軸. ∴△QND∽△QCO∴，

在Rt△OCQ中，CQ＝=5，

∴，

∴ND＝（5－t）

∴S△AMN＝AM·ND＝·3t·（5－t）＝－

∵0≤x≤

∴當t＝時，△AMN的面積最大

②、能.假設PQ垂直平分線段MN，則QM＝NQ，

∴7－3t＝5－t， ∴t＝1.此時AM＝3， 即點M與點O重合， QM＝NQ＝4.

如圖，設PQ交y軸于點E

∵∠MND＝90°－∠NMD＝∠MQE，

∴Rt△MND∽Rt△EQM，

∴

∵ND＝，DQ＝，

∴MD＝，

∴MD＝.

∴E（0，），

∵Q（4，0），

∴直線QE為y=. 即直線PQ為y=