Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，點A，C的坐標分別為A（﹣3，0），C（1，0），tan∠BAC=．

（1）求過點A，B的直線的函數表達式；

（2）在x軸上找一點D，連接BD，使得△ADB與△ABC相似（不包括全等），并求點D的坐標；

（3）在（2）的條件下，如P，Q分別是AB和AD上的動點，連接PQ，設AP=DQ=m，問是否存在這樣的m使得△APQ與△ADB相似？如存在，請求出的m值；如不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（1，3）；（2）D（，0）；（3）這樣的m存在．m=．

【解析】

試題（1）根據點A、C的坐標求出AC的長，根據題意求出點B的坐標，利用待定系數法求出過點A，B的直線的函數表達式；（2）過點B作BD⊥AB，交x軸于點D，根據相似三角形的性質列出比例式，計算即可；（3）分PQ∥BD時和PQ⊥AD時兩種情況，根據相似三角形的性質列出比例式，計算即可．

試題解析：(1)∵點A(3,0),C(1,0)，

∴AC=4,又BC=AC，

∴BC=3，

∴B點坐標為(1,3)，

設過點A，B的直線的函數表達式為：y=kx+b，

則，

解得，

∴直線AB的函數表達式為：y=x+；

(2)如圖1，過點B作BD⊥AB，交x軸于點D，

∵∠A=∠A，∠ABD=∠ACB，

∴△ADB∽△ABC，

∴D點為所求，

∵△ADB∽△ABC，

∴,即=，

解得,CD=，

∴OD=OC+CD=，

∴點D的坐標為(,0)；

(3)在Rt△ABC中,由勾股定理得AB==5，

如圖2,當PQ∥BD時,△APQ∽△ABD，

則，

解得,m=，

如圖3,當PQ⊥AD時,△APQ∽△ADB，

則，

解得,m=，

所以若△APQ與△ADB相似時,m=或.