Question

【題目】問題背景：
如圖①，在四邊形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，探究線段AC，BC，CD之間的數量關系．
小吳同學探究此問題的思路是：將△BCD繞點D，逆時針旋轉90°到△AED處，點B，C分別落在點A，E處（如圖②），易證點C，A，E在同一條直線上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE= CD，從而得出結論：AC+BC= CD．
簡單應用：

（1）在圖①中，若AC= ，BC=2 ，則CD= ．
（2）如圖③，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙上， = ，若AB=13，BC=12，求CD的長．
拓展規律：
（3）如圖④，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若AC=m，BC=n（m＜n），求CD的長（用含m，n的代數式表示）
（4）如圖⑤，∠ACB=90°，AC=BC，點P為AB的中點，若點E滿足AE= AC，CE=CA，點Q為AE的中點，則線段PQ與AC的數量關系是 ．

Answer 1

【答案】
（1）3
（2）

解：連接AC、BD、AD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=∠ACB=90°，

∵ ，

∴AD=BD，

將△BCD繞點D，逆時針旋轉90°到△AED處，如圖③

，

∴∠EAD=∠DBC，

∵∠DBC+∠DAC=180°，

∴∠EAD+∠DAC=180°，

∴E、A、C三點共線，

∵AB=13，BC=12，

∴由勾股定理可求得：AC=5，

∵BC=AE，

∴CE=AE+AC=17，

∵∠EDA=∠CDB，

∴∠EDA+∠ADC=∠CDB+∠ADC，

即∠EDC=∠ADB=90°，

∵CD=ED，

∴△EDC是等腰直角三角形，

∴CE= CD，

∴CD=

（3）

解：以AB為直徑作⊙O，連接OD并延長交⊙O于點D1，連接D1A，D1B，D1C，如圖④

由（2）的證明過程可知：AC+BC= D1C，

∴D1C= ，

又∵D1D是⊙O的直徑，

∴∠DCD1=90°，

∵AC=m，BC=n，

∴由勾股定理可求得：AB2=m2+n2，

∴D1D2=AB2=m2+n2，

∵D1C2+CD2=D1D2，

∴CD=m2+n2﹣ = ，

∵m＜n，

∴CD= ；

（4）[ "解：當點E在直線AC的左側時，如圖⑤
，
連接CQ，PC，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
點P是AB的中點，
∴AP=CP，∠APC=90°，
又∵CA=CE，點Q是AE的中點，
∴∠CQA=90°，
設AC=a，
∵AE= AC，
∴AE= a，
∴AQ= AE= ，
由勾股定理可求得：CQ= a，
由（2）的證明過程可知：AQ+CQ= PQ，
∴ PQ= a+ a，
∴ PQ= AC；
當點E在直線AC的右側時，如圖⑥
【解析】解：（1）由題意知：AC+BC= CD，
∴3 +2 = CD，
∴CD=3，；
（1）由題意可知：AC+BC= CD，所以將AC與BC的長度代入即可得出CD的長度；（2）連接AC、BD、AD即可將問題轉化為第（1）問的問題，利用題目所給出的證明思路即可求出CD的長度；（3）以AB為直徑作⊙O，連接OD并延長交⊙O于點D1 ， 由（2）問題可知：AC+BC= CD1；又因為CD1=D1D，所以利用勾股定理即可求出CD的長度；（4）根據題意可知：點E的位置有兩種，分別是當點E在直線AC的右側和當點E在直線AC的左側時，連接CQ、CP后，利用（2）和（3）問的結論進行解答．本題考查圓的綜合問題，每一問都緊扣著前一問的結論，涉及勾股定理、圓周角定理，旋轉的性質等知識，解題的關鍵是就利用好已證明的結論來進行解答，考查學生綜合運用知識的能力．