Question

【題目】如圖，以△ABC的邊AB為直徑的⊙O恰好過BC的中點D，過點D作DE⊥AC于E，連結OD，則下列結論中：①OD∥AC；②∠B＝∠C；③2OA＝BC；④DE是⊙O的切線；⑤∠EDA＝∠B，正確的序號是_____．

Answer 1

【答案】①②④⑤

【解析】

連接AD，根據三角形中位線定理得到OD∥AC，①正確；根據圓周角定理得到∠ADB=90°=∠ADC，根據等腰三角形的性質得到∠B=∠C，②正確；根據切線的判定定理得到DE是⊙O的切線，④正確；根據余角的性質得到∠EDA=∠ODB，根據等腰三角形的性質得到∠B=∠ODB，求得∠EDA=∠B，⑤正確；根據線段垂直平分線的性質得到AC=AB，求得OA=AC，③不正確

解：連接AD，

∵D為BC中點，點O為AB的中點，

∴OD為△ABC的中位線，

∴OD∥AC，①正確；

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°＝∠ADC，

即AD⊥BC，又BD＝CD，

∴AC=BC，

∴△ABC為等腰三角形，

∴∠B＝∠C，②正確；

∵DE⊥AC，且DO∥AC，

∴OD⊥DE，

∵OD是半徑，

∴DE是⊙O的切線，∴④正確；

∴∠ODA+∠EDA＝90°，

∵∠ADB＝∠ADO+∠ODB＝90°，

∴∠EDA＝∠ODB，

∵OD＝OB，

∴∠B＝∠ODB，

∴∠EDA＝∠B，∴⑤正確；

∵D為BC中點，AD⊥BC，

∴AC＝AB，

∵OA＝OB＝AB，

∴OA＝AC，

∴2OA＝AC，

∴③不正確，

故答案為：①②④⑤．