Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，點(diǎn)D在邊AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)CE，求：
（1）線段BE的長；
（2）∠ECB的余切值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AD=2CD，AC=3，

∴AD=2，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，

∴∠A=∠B=45°，AB= = =3 ，

∵DE⊥AB，

∴∠AED=90°，∠ADE=∠A=45°，

∴AE=ADcos45°=2× = ，

∴BE=AB﹣AE=3 ﹣ =2 ，

即線段BE的長為2

（2）

解：過點(diǎn)E作EH⊥BC，垂足為點(diǎn)H，如圖所示：

∵在Rt△BEH中，∠EHB=90°，∠B=45°，

∴EH=BH=BEcos45°=2 × =2，

∵BC=3，

∴CH=1，

在Rt△CHE中，cot∠ECB= = ，

即∠ECB的余切值為

【解析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠A=∠B=45°，由勾股定理求出AB=3 ，求出∠ADE=∠A=45°，由三角函數(shù)得出AE= ，即可得出BE的長；（2）過點(diǎn)E作EH⊥BC，垂足為點(diǎn)H，由三角函數(shù)求出EH=BH=BEcos45°=2，得出CH=1，在Rt△CHE中，由三角函數(shù)求出cot∠ECB= 即可．本題考查了解直角三角形、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)；熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，通過作輔助線求出CH是解決問題（2）的關(guān)鍵．