Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點A、B的坐標分別為（12，0）、（12，6），直線y=﹣x+b與y軸交于點P，與邊OA交于點D，與邊BC交于點E．

（1）若直線y=﹣x+b平分矩形OABC的面積，求b的值；

（2）在（1）的條件下，當直線y=﹣x+b繞點P順時針旋轉時，與直線BC和x軸分別交于點N、M，問：是否存在ON平分∠CNM的情況？若存在，求線段DM的長；若不存在，請說明理由；

（3）在（1）的條件下，將矩形OABC沿DE折疊，若點O落在邊BC上，求出該點坐標；若不在邊BC上，求將（1）中的直線沿y軸怎樣平移，使矩形OABC沿平移后的直線折疊，點O恰好落在邊BC上．

Answer 1

【答案】（1）b=12；（2）存在，DM=8﹣ 或DM=8+；（3）沿y軸向下平移個單位，使矩形OABC沿平移后的直線折疊，點O恰好落在邊BC上．

【解析】

試題分析：（1）根據直線y=﹣x+b平分矩形OABC的面積，知道其必過矩形的中心，然后求得矩形的中心坐標為（6，3），代入解析式即可求得b值；（2）假設存在ON平分∠CNM的情況，分當直線PM與邊BC和邊OA相交和當直線PM與直線BC和x軸相交這兩種情況，求得DM的值就存在，否則就不存在；

（3）假設沿DE將矩形OABC折疊，點O落在邊BC上O′處，連接PO′、OO′，得到△OPO′為等邊三角形，從而得到∠OPD=30°，然后根據（2）知∠OPD＞30°，得到沿DE將矩形OABC折疊，點O不可能落在邊BC上；若設沿直線y=﹣x+a將矩形OABC折疊，點O恰好落在邊BC上O′處，連接P′O′、OO′，則有P′O′=OP′=a，在Rt△OPD和Rt△OAO′中，利用正切的定義求得a值，即可得到將矩形OABC沿直線折疊，點O恰好落在邊BC上，于是得到問題的答案.

試題解析：（1）∵直線y=﹣x+b平分矩形OABC的面積，∴其必過矩形的中心，由題意得矩形的中心坐標為（6，3），∴3=﹣×6+b，解得b=12；（2）假設存在ON平分∠CNM的情況，①當直線PM與邊BC和邊OA相交時，過O作OH⊥PM于H，∵ON平分∠CNM，OC⊥BC，∴OH=OC=6，由（1）知OP=12，∴∠OPM=30°，∴OM=OPtan30°=，當y=0時，由﹣x+12=0解得x=8，∴OD=8，∴DM=8﹣；②如圖1，當直線PM與直線BC和x軸相交時，同上可得OM=，OD=8，∴DM=8+.所以存在ON平分∠CNM的情況，DM=8﹣ 或DM=8+；（3）如圖2假設沿DE將矩形OABC折疊，點O落在邊BC上O′處連接PO′、OO′，則有PO′=OP，又由（1）得BC垂直平分OP，∴PO′=OO′，∴△OPO′為等邊三角形，∴∠OPD=30°，而由（2）知∠OPD＞30°，所以沿DE將矩形OABC折疊，點O不可能落在邊BC上；如圖3設沿直線y=﹣x+a將矩形OABC折疊，點O恰好落在邊BC上O′處，連接P′O′、OO′，則有P′O′=OP′=a，由題意得：CP′=a﹣6，∠OPD=∠CO′O，在Rt△OPD中，tan∠OPD=，在Rt△OCO′中，tan∠CO′O=，∴=，即=，解得CO′=9，在Rt△CP′O′中，由勾股定理得：（a﹣6）2+92=a2，解得a=，12﹣=，所以將直線y=﹣x+12沿y軸向下平移個單位得直線y=﹣x+，將矩形OABC沿直線y=﹣x+折疊，點O恰好落在邊BC上．