Question

在平面直角坐標系中，已知點A（a，0），C（0，b）滿足（a+1）²+=0

（1）直接寫出：a=　_________　，b=　_________　；

（2）點B為x軸正半軸上一點，如圖1，BE⊥AC于點E，交y軸于點D，連接OE，若OE平分∠AEB，求直線BE的解析式；

（3）在（2）條件下，點M為直線BE上一動點，連OM，將線段OM逆時針旋轉90°，如圖2，點O的對應點為N，當點M的運動軌跡是一條直線l，請你求出這條直線l的解析式．

Answer 1

考點：

一次函數綜合題．

分析：

（1）根據非負數是性質來求a、b的值；

（2）如圖1，過點O作OF⊥OE，交BE于F．構建全等三角形：△EOC≌△FOB（ASA），△AOC≌△DOB（ASA），易求D（0，﹣1），B（3，0）．利用待定系數法求得直線BE的解析式y=x﹣1；

（3）如圖2，過點M作MG⊥x軸，垂足為G，過點N作NH⊥GH，垂足為H．構建全等三角形：△GOM≌△HMN，故OG=MH，GM=NH．設M（m，m﹣1），則H（m，﹣m﹣1），

N（m﹣1，﹣m﹣1），由此求得點N的橫縱坐標間的函數關系．

解答：

解：（1）依題意得 a+1=0，b+3=0，

解得 a=﹣1，b=﹣3．

故答案是：﹣1；﹣3；

（2）如圖1，過點O作OF⊥OE，交BE于F．

∵BE⊥AC，OE平分∠AEB，

∴△EOF為等腰直角三角形．

∵在△EOC與△FOB中，，

∴△EOC≌△FOB（ASA），

∴OB=OC．

∴在△AOC與△DOB中，，

∴△AOC≌△DOB（ASA），

∴OA=OD，

∵A（﹣1，0），B（0，﹣3），∴D（0，﹣1），B（3，0）

∴直線BD，即直線BE的解析式y=x﹣1；

（3）依題意，△NOM為等腰Rt△，

如圖2，過點M作MG⊥x軸，垂足為G，過點N作NH⊥GH，垂足為H，

∵△NOM為等腰Rt△，

則易證△GOM≌△HMN，

∴OG=MH，GM=NH，

由（2）知直線BD的解析式y=x﹣1，

設M（m，m﹣1），則H（m，﹣m﹣1），

∴N（m﹣1，﹣m﹣1），

令m﹣1=x，﹣m﹣1=y，

消去參數m得，y=﹣x﹣

即直線l的解析式為y=﹣x﹣．

（說明：此題用取特殊點計算的方法求解析式也行）

點評：

本題考查了一次函數綜合題型．熟練掌握等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定與性質以及旋轉的性質．