Question

【題目】中國最長鐵路隧道西康鐵路秦嶺一線隧道全長十八點四六千米，為目前中國鐵路隧道長度之首，被稱為”神州第一長隧”．為了安全起見在某段隧道兩旁安置了兩座可旋轉探照燈．如圖1所示，燈A發出的光束從AC開始順時針旋轉至AD便立即回轉，燈B發出的光束從BE開始順時針旋轉至BF便立即回轉，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A旋轉的速度是每秒3度，燈B旋轉的速度是每秒2度．已知CD∥EF，且∠BAD=∠BAC，設燈A旋轉的時間為t（單位：秒）．

（1）求∠BAD的度數；

（2）若燈B發出的光束先旋轉10秒，燈A發出的光束才開始旋轉，在燈B發出的光束到達BF之前，若兩燈發出的光束互相平行，求燈A旋轉的時間t；

（3）如圖2，若兩燈同時轉動，在燈A發出的光束到達AD之前，若兩燈發出的光束交于點M，過點M作∠AMN交BE于點N，且∠AMN=135°．請探究：∠BAM與∠BMN的數量關系是否發生變化？若不變，請求出其數量關系；若改變，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）45；（2）當t=20秒或68秒時，兩燈的光束互相平行；（3）∠BAM與∠BMN關系不會變化

【解析】

（1）因為鄰補角互補，則∠BAC+∠BAD=180°，且∠BAD=∠BAC，則∠BAC：∠BAD=3：1，所以∠BAD=180°×=45°.（2）分情況討論，①當0＜t＜60時，由平行線的性質可得∠EBE'=∠CAC'，所以3t=2（10+t），求解即可；②當60＜t＜80時，由平行線的性質可得∠EBE'+∠C'AD=180°，所以2（10+t）+（3t-180）=180，求解即可.（3）∠BAM與∠BMN關系不會變化，利用角的和差關系分別表示出∠BAM=3t-135°，

∠BMN= t-45°，則∠BMN=∠BAM，所以∠BAM和∠BMN關系不會變化．

解：（1）如圖1，∵∠BAC+∠BAD=180°，∠BAD=∠BAC，

∴∠BAC：∠BAD=3：1，

∴∠BAD=180°×=45°，

故答案為：45.

（2）設A燈轉動t秒，兩燈的光束互相平行，

①當0＜t＜60時，如圖2，

∵CD∥EF，

∴∠EBE'=∠BE'A，

∵BE'∥AC'，

∴∠BE'A=∠CAC'，

∴∠EBE'=∠CAC'，

∴3t=2（10+t），

解得t=20.

②當60＜t＜80時，如圖3，

∵CD∥EF，

∴∠EBE'+∠BE'D=180°，

∵AC'∥BE'，

∴∠BE'D=∠C'AD，

∴∠EBE'+∠C'AD=180°，

∴2（10+t）+（3t-180）=180，

解得t=68，

綜上所述，當t=20秒或68秒時，兩燈的光束互相平行.

（3）∠BAM與∠BMN關系不會變化.

．

理由如下：如圖4，設燈A射線轉動時間為t秒，

∵∠MAD=180°-3t，

∴∠BAM=∠BAD-∠MAD=45°-（180°-3t）=3t-135°，

又∵∠ABM=∠EBA-∠EBM=135°-2t，

∴∠BMA=180°-∠ABM-∠BAM=180°-（135°-2t）-（3t-135°）=180°-t，

又∵∠AMN=135°，

∴∠BMN=∠AMN -∠BMA=135°-（180°-t）=t-45°，

∴∠BAM：∠BMN=3：1，

即∠BMN=∠BAM，

∴∠BAM和∠BMN關系不會變化．