Question

【題目】如圖，一次函數y＝﹣x+4的圖象分別與x軸，y軸的正半軸交于點E、F，一次函數y＝kx﹣4的圖象與直線EF交于點A（m，2），且交于x軸于點P，

（1）求m的值及點E、F的坐標；

（2）求△APE的面積；

（3）若B點是x軸上的動點，問在直線EF上，是否存在點Q（Q與A不重合），使△BEQ與△APE全等？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）m＝，E（3，0）；F（0，4）；（2）S△APE＝2；（3）Q1（，），Q2（，﹣），Q3（，﹣2）．

【解析】

（1）根據函數值，可得相應自變量的值，根據自變量的值，可得相應的函數值；
（2）根據待定系數法，可得AP的解析式，根據函數值為零，可得P點坐標，根據三角形的面積公式，可得答案；
（3）分類討論：①當點A與點B為對應頂點時，根據全等三角形的面積相等，可得Q點的縱坐標，根據函數值，可得相應自變量的值；②當點A與點Q為對應頂點時，可得Q點的縱坐標，根據函數值，可得相應自變量的值．

解：（1）一次函數y＝﹣x+4的圖象經過點A（m，2），

得﹣m+4＝2，

解得m＝，

∵一次函數y＝﹣x+4的圖象分別與x軸、y軸的正半軸交于點E，F．

∴當y＝0時，﹣x+4＝0，解得x＝3即E（3，0）；

當x＝0時，y＝4，即F（0，4）；

（2）把點A（，2）一次函數y＝kx﹣4，得2＝k﹣4，解得k＝4，

y＝4x﹣4，當y＝0時，x＝1，即P（1，0）．

PE＝3﹣1＝2，

S△APE＝×2×2＝2；

（3）存在Q點，B點是x軸上的動點，點Q是直線y＝﹣x+4上的點，設Q（m，n）．

由兩點間的距離，得AE＝＝ ，AP＝＝，PE＝2．

①當點A與點B為對應頂點時，

∵△APE≌△BQE，

∴S△BQE＝S△APE＝2，

∴BE×|n|＝2．

∵BE＝AE＝，

∴|n|＝，n＝±．

當n＝時，﹣x+4＝，解得m＝，即Q1（，）；

當n＝﹣時，﹣x+4＝﹣，解得m＝ ，即Q2（，﹣）；

②當點A與點Q為對應頂點時，∵△APE≌△QBE，

則n＝﹣2，把n＝﹣2代入y＝﹣x+4得m＝ ，

∴Q3（，﹣2），

綜上所述：Q1（，），Q2（，﹣），Q3（，﹣2）．

故答案為：（1）m＝，E（3，0）；F（0，4）；（2）S△APE＝2；（3）Q1（，），Q2（，﹣），Q3（，﹣2）．