Question

如圖，在直角坐標平面內，直線y=-x+5與x軸和y軸分別交于A、B兩點，二次函數y=x2+bx+c的圖象經過點A、B，且頂點為C．

（1）求這個二次函數的解析式；

（2）求sin∠OCA的值；

（3）若P是這個二次函數圖象上位于x軸下方的一點，且△ABP的面積為10，求點P的坐標．

 

 

Answer 1

（1）y=x2-6x+5；（2）；（3）P（4，-3）．

【解析】

試題分析：（1）根據直線方程求得點A、B的坐標；然后把點A、B的坐標代入二次函數解析式，通過方程組來求系數b、c的值；

（2）如圖，過點C作CH⊥x軸交x軸于點H，構建等腰△AOC．則∠OAC=∠OCA，故sin∠OCA=sin∠OAC= ；

（3）如圖，過P點作PQ⊥x軸并延長交直線y=-x+5于Q．設點P（m，m2-6m+5），Q（m，-m+5），則PQ=-m+5-（m2-6m+5）=-m2+5m．由S△ABP=S△PQB+S△PQA得到：10=(?m2+5m)×5，則易求m的值．注意點P位于第四象限．

試題解析：（1）由直線y=-x+5得點B（0，5），A（5，0），

將A、B兩點的坐標代入y=x2+bx+c，得

，

解得 ，

∴拋物線的解析式為y=x2-6x+5；

（2）如圖，過點C作CH⊥x軸交x軸于點H．

由（1）知，拋物線的解析式為：y=x2-6x+5，則配方 得y=（x-3）2-4，

∴點C（3，-4），

∴CH=4，AH=2，AC=2

∴OC=5．

∵OA=5，

∴OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴sin∠OCA=sin∠OAC=

（3）如圖，過P點作PQ⊥x軸并延長交直線y=-x+5于Q．

設點P（m，m2-6m+5），Q（m，-m+5），則PQ=-m+5-（m2-6m+5）=-m2+5m．

∵S△ABP=S△PQB+S△PQA=PQ•OA，

∴10=(?m2+5m)×5，

∴m1=1，m2=4，

∴P（1，0）（舍去），P（4，-3）．

考點：二次函數綜合題．