Question

如圖，一張邊長為20cm正方形硬紙板，把它的四個角都剪去一個邊長為xcm的小正方形，然后把它折成一個無蓋的長方體，設長方體的容積為Vcm³，請回答下列問題：
（1）若用含有x的代數式表示V，則V=

x（20-2x）²

．
（2）根據（1）中結果，填寫下表：

x（cm）	1	2	3	4	5	6	7
V（cm3）	324	512			500	384	252

（3）觀察（2）中表格，容積V的值是否隨x值的增大而增大？此時當x取什么整數值時，容積V的值最大？
（4）課后小英同學繼續對這個問題作了以下探究：
當x=3.2cm時，V=591.872cm³；當x=3.3cm時，V=592.548cm³；
當x=3.4cm時，V=592.416cm³；當x=3.5cm時，V=591.5cm³，
小英同學發現x的取值一定介于3.3cm～3.4cm之間，估計x的取值還能更精確些，小英再計算x=3.3cm，3.33cm，3.333cm，3.3333cm…時，發現容積還在逐漸增大．現請你也觀察（4）中數據變化，能否推測x可以取到哪一個定值，容積V的值最大？（直接寫出即可）

Answer 1

分析：（1）表示出底面正方形的邊長，然后根據體積公式解答；
（2）根據（1）中得出的關系式，代入數據x=3、4進行計算即可得到對應的V的值；
（3）根據表格數據的變化規律即可得解；
（4）根據小英取的x的值的特點即可得解．

解答：解：（1）根據題意，無蓋的長方體的底面正方形的邊長為20-2x，高為x，
∴V=x（20-2x）²；

（2）在V=x（20-2x）²中，
當x=3時，V=3×（20-2×3）²=3×196=588，
當x=4時，V=4×（20-2×4）²=4×144=576，

（3）觀察上表，可以發現容積V的值不是隨著x的值的增大而增大的，
從表中可知，當x取整數3時，容積V最大；

（4）根據小英的x的取值，x無限接近3

1

3

，
∴當x=3

1

3

時，容積V的值最大，最大值約為592.593．

點評：本題主要考查了二次函數的應用，二次函數的最值問題，準確表示出底面正方形的邊長是求容積的關鍵，也是求解本題的突破口，另外對數據的敏感發現也很重要．