Question

23、（1）如圖1，點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連接AC和BD，相交于點(diǎn)E，連接BC．求∠AEB的大小；
（2）如圖2，△OAB固定不動(dòng)，保持△OCD的形狀和大小不變，將△OCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（△OAB和△OCD不能重疊），求∠AEB的大小．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形和外角的性質(zhì)，可求∠AEB=60°；
（2）方法同一，只是∠AEB=∠8-∠5，此時(shí)已不是外角，但仍可用外角和內(nèi)角的關(guān)系解答．

解答：解：（1）如圖3，
∵△DOC和△ABO都是等邊三角形，
且點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，
∴OD=OC=OB=OA，∠1=∠2=60°，
∴∠4=∠5．
又∵∠4+∠5=∠2=60°，
∴∠4=30°．
同理∠6=30°．
∵∠AEB=∠4+∠6，
∴∠AEB=60°．

（2）如圖4，
∵△DOC和△ABO都是等邊三角形，
∴OD=OC，OB=OA，∠1=∠2=60°．
又∵OD=OA，
∴OD=OB，OA=OC，
∴∠4=∠5，∠6=∠7．
∵∠DOB=∠1+∠3，
∠AOC=∠2+∠3，
∴∠DOB=∠AOC．
∵∠4+∠5+∠DOB=180°，∠6+∠7+∠AOC=180°，
∴2∠5=2∠6，
∴∠5=∠6．
又∵∠AEB=∠8-∠5，∠8=∠2+∠6，
∴∠AEB=∠2+∠6-∠5=∠2+∠5-∠5=∠2，
∴∠AEB=60°．

點(diǎn)評：此題主要考查等邊三角形和外角的性質(zhì)．