Question

【題目】如圖（1），AB=7cm，AC⊥AB，BD⊥AB 垂足分別為 A、B，AC=5cm．點(diǎn)P 在線段 AB 上以 2cm/s 的速度由點(diǎn) A 向點(diǎn)B 運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn) Q 在射線 BD 上運(yùn)動(dòng)．它們運(yùn) 動(dòng)的時(shí)間為 t（s）（當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)，點(diǎn) Q 運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束）．

（1）若點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng) t=1 時(shí)，△ACP 與△BPQ 是否全等， 并判斷此時(shí)線段 PC 和線段 PQ 的位置關(guān)系，請(qǐng)分別說(shuō)明理由；

（2）如圖（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB” 改為 “∠CAB=∠DBA=60°”，點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)速 度為 x cm/s，其他條件不變，當(dāng)點(diǎn) P、Q 運(yùn)動(dòng)到某處時(shí)，有△ACP 與△BPQ 全等，求出相應(yīng)的 x、t 的值．

Answer 1

【答案】（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ，理由見(jiàn)解析；（2）t=1s，x=2cm/s或t=s，x=cm/s．

【解析】

（1）利用SAS證得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，即可得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°，即可得出結(jié)論；
（2）由△ACP≌△BPQ，分兩種情況：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程組求得答案即可．

解：（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ，
理由如下：當(dāng)t=1時(shí)，AP=BQ=2，
則BP=7-2=5，

∴BP=AC，

∵AC⊥AB，BD⊥AB
∴∠A=∠B=90°
在△ACP和△BPQ中，

，
∴△ACP≌△BPQ；

∴∠ACP=∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．
∴∠CPQ=90°，
即PC⊥PQ；
（2）①若△ACP≌△BPQ，
則AC=BP，AP=BQ，可得：5=7-2t，2t=xt
解得：x=2，t=1；
②若△ACP≌△BQP，
則AC=BQ，AP=BP，可得：5=xt，2t=7-2t
解得：t=， x=5÷=，

故當(dāng)t=1s，x=2cm/s或t=s，x=cm/s時(shí)，△ACP與△BPQ全等．