Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC、BC的長為方程x2﹣14x+a＝0的兩根，且AC﹣BC＝2，D為AB的中點．

（1）求a的值．

（2）動點P從點A出發，以每秒2個單位的速度，沿A→D→C的路線向點C運動；動點Q從點B出發，以每秒3個單位的速度，沿B→C的路線向點C運動，且點Q每運動1秒，就停止2秒，然后再運動1秒…若點P、Q同時出發，當其中有一點到達終點時整個運動隨之結束．設運動時間為t秒．

①在整個運動過程中，設△PCQ的面積為S，試求S與t之間的函數關系式；并指出自變量t的取值范圍；

②是否存在這樣的t，使得△PCQ為直角三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的t的值．

Answer 1

【答案】（1）48；（2）① S＝t2﹣t+24（0＜t≤1）或S＝﹣t+12（1＜t≤2.5）或S＝﹣t+12（2.5＜t≤3）或S＝t2﹣t+48（3＜t＜4）；②2.5秒，秒

【解析】

（1）根據根與系數的關系求出AC+BC=14，求出AC和BC，即可求出答案；

（2）根據勾股定理求出AB，sinB，過C作CE⊥AB于E，關鍵三角形的面積公式求出CE，I當0＜t≤1時，

求出即可；II同理可求：當1＜t≤2.5時， ;Ⅲ當2.5＜t≤3時， ;IV當3＜t＜4時

②在整個運動過程中，只可能∠PQC=90°，當P在AD上時，若∠PQC=90°，，代入即可求出t；當P在DC上時，若∠PQC=90°，sinA=sin∠CPQ， 得到 或 ，求出t，根據t的范圍1＜t＜4，判斷即可．

（1）∵AC、BC的長為方程x2﹣14x+a＝0的兩根，

∴AC+BC＝14，

又∵AC﹣BC＝2，

∴AC＝8，BC＝6，

∴a＝8×6＝48，

答：a的值是48．

（2）∵∠ACB=90°

∴

又∵D為AB的中點

∴

∵

過C作CE⊥AB于E，

根據三角形的面積公式得：

6×8=10CE

解得

過P作PK⊥BQ于K，

∵

∴

∴

（I）當0<t≤1時，

（II）同理可求：當1<t≤2．5時，

（III）當2．5<t≤3時

（IV）當3<t<4時

∵△PHC∽△BCA

∴

∴

∴PH=8-1．6t

∴

答：S與t之間的函數關系式是：

或

或

或

② 解：在整個運動過程中，只可能∠PQC=90°

當P在AD上時，若∠PQC=90°，

∴

∴t=2.5

當P在DC上時，若∠PQC=90°

sinA=sin∠CPQ

或

或t=2．5

∵1<t<4

∴t=2.5秒或秒時，△PCQ為直角三角形

答：存在這樣的t，使得△PCQ為直角三角形，符合條件的t的值是2.5秒， 秒