Question

如圖，已知AB=12，點C、D在AB上，且AC=DB=2，點P從點C沿線段CD向點D運動（運動到點D停止），以AP、BP為斜邊在AB的同側畫等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，連接EF，取EF的中點G，則下列說法中正確的有（　　） 
①△EFP的外接圓的圓心為點G；②△EFP的外接圓與AB相切；
③四邊形AEFB的面積不變；④EF的中點G移動的路徑長為4．

A、1個

B、2個

C、3個

D、4個

Answer 1

分析：分別延長AE、BF交于點H，易證四邊形EPFH為平行四邊形，得出G為PH中點，則G的運行軌跡為三角形HCD的中位線MN．再求出CD的長，運用中位線的性質求出MN的長度即可確定④正確；又由G為EF的中點，∠EPF=90°，可知②正確．故可求得答案．

解答：解：如圖，分別延長AE、BF交于點H．
∵等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，
∴∠A=∠FPB=45°，∠B=∠EPA=45°，
∴AH∥PF，BH∥PE，∠EPF=180°-∠EPA-∠FPB=90°，
∴四邊形EPFH為平行四邊形，
∴EF與HP互相平分．
∵G為EF的中點，
∴G也為PH中點，
即在P的運動過程中，G始終為PH的中點，
∴G的運行軌跡為△HCD的中位線MN．
∵CD=12-2-2=8，
∴MN=4，即G的移動路徑長為4．
故④EF的中點G移動的路徑長為4，正確；
∵G為EF的中點，∠EPF=90°，
∴①△EFP的外接圓的圓心為點G，正確．
∴①④正確．
故選B．

點評：本題考查了等腰直角三角形的性質，平行四邊形的判定與性質，三角形外接圓的知識以及三角形中位線的性質等知識．此題綜合性很強，圖形也很復雜，解題時要注意數形結合思想的應用．此題屬于動點問題，是中考的熱點．