Question

【題目】如圖，已知在正方形ABCD中，F(xiàn)是CD邊上一點（不和C，D重合），過點D做DG⊥BF交BF延長線于點G．連接AG，交BD于點E，連接EF，交CD于點M．若DG=6，AG=7 ，則EF的長為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：如圖作AH⊥BG于H交BC于T，AN⊥GD于N，取BD的中點O，連接OA、OG．

∴∠BAD=∠BGD=90°，

∴OA=OD=OB=OG，

∴A、B、G、D四點共圓，

∴∠AGB=∠ADB=45°，∠AGD=∠ABD=45°，

∴AH=GH，AN=NG，

∵∠N=∠AHG=∠HGN=90°，

∴四邊形ANGH是矩形，∵AH=HG，

∴四邊形ANGH是正方形，

∵AG=7 ，

∴AH=HG=GN=AN=7，

易證△AND≌△AHB，

∴DN=BH，

∴GD+GB=GN﹣DN+GH+BH=2GN= AG，

∴6+GB=14，

∴GB=8，BD= =10，

∴BH=1，

∵△BHT∽△AHB，

∴BH2=AHHT，

∴HT= ，

∴AT=AH+TH= ，

易證△ABT≌△BCF，

∴AT=BF= ，

∵△BEF∽△BGD，

∴ = ，

∴ = ，

∴EF= ，

所以答案是 ．

【考點精析】關(guān)于本題考查的正方形的性質(zhì)，需要了解正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能得出正確答案．