Question

已知關(guān)于x的方程kx²+2（k+1）x-3=0．
（1）請你為k選取一個(gè)合適的整數(shù)，使方程有兩個(gè)有理根，并求出這兩個(gè)根；
（2）若k滿足不等式16k+3＞0，試討論方程實(shí)數(shù)根的情況．

Answer 1

【答案】分析：（1）選取k的值，注意使其滿足使方程有兩個(gè)有理根，解此方程即可；
（2）分別從當(dāng)k=0時(shí)（即方程為一元一次方程）與當(dāng)k＞-且k≠0時(shí)（即方程為一元二次方程）去分析求解，當(dāng)是一元二次方程時(shí)利用根的判別式即可判定方程實(shí)數(shù)根的情況．
解答：解：（1）比如：取k=3，原方程化為3x²+8x-3=0．    …（1分）
即：（3x-1）（x+3）=0，
解得：x₁=-3，x₂=；                      …（2分）

（2）由16+k＞0，解得k＞-．              …（3分）
∵當(dāng)k=0時(shí)，原方程化為2x-3=0；
解得：x=，
∴當(dāng)k=0時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根  …（4分）
∵當(dāng)k＞-且k≠0時(shí)，方程kx²+2（k+1）x-3=0為一元二次方程，
∴△=[2（k+1）]²-4×k×（-3）
=4k²+8k+4+12k
=4k²+20k+4
=[（2k）²+2×2k×1+1]+（16k+3）
=（2k+1）²+16k+3，…（5分）
∵（2k+1）²≥0，16k+3＞0，
∴△=（2k+1）²+16k+3＞0．  …（6分）
∴當(dāng)k＞-且k≠0時(shí)，一元二次方程kx²+2（k+1）x-3=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．…（7分）
點(diǎn)評：此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程的解法、根的判別式以及配方法的應(yīng)用等知識．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意分別從當(dāng)k=0時(shí)（即方程為一元一次方程）與當(dāng)k＞-且k≠0時(shí)（即方程為一元二次方程）去分析求解．