Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，O點在BC邊上，∠BAC的平分線交⊙O于點D，連接BD、CD，過點D作BC的平行線，與AB的延長線相交于點P．

（1）求證：PD是⊙O的切線；

（2）若AB＝3，AC＝4，求線段PB的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）PB＝.

【解析】

（1）由直徑所對的圓周角為直角得到∠BAC為直角，再由AD為角平分線，得到一對角相等，根據同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍及等量代換確定出∠DOC為直角，與平行線中的一條垂直，與另一條也垂直得到OD與PD垂直，即可得證；

（2）由PD與BC平行，得到一對同位角相等，再由同弧所對的圓周角相等及等量代換得到∠P＝∠ACD，根據同角的補角相等得到一對角相等，利用兩對角相等的三角形相似；由三角形ABC為直角三角形，利用勾股定理求出BC的長，再由OD垂直平分BC，得到DB＝DC，相似三角形的性質，得比例，求出所求即可．

（1）證明：∵圓心O在BC上，

∴BC是圓O的直徑，

∴∠BAC＝90°，

連接OD，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAC＝2∠DAC，

∵∠DOC＝2∠DAC，

∴∠DOC＝∠BAC＝90°，即OD⊥BC，

∵PD∥BC，

∴OD⊥PD，

∵OD為圓O的半徑，

∴PD是圓O的切線；

（2）∵PD∥BC，

∴∠P＝∠ABC，

∵∠ABC＝∠ADC，

∴∠P＝∠ADC，

∵∠PBD+∠ABD＝180°，∠ACD+∠ABD＝180°，

∴∠PBD＝∠ACD，

∴△PBD∽△DCA；

∵△ABC為直角三角形，

∴BC2＝AB2+AC2＝32+42＝25，

∴BC＝5，

∵OD垂直平分BC，

∴DB＝DC，

∵BC為圓O的直徑，

∴∠BDC＝90°，

在Rt△DBC中，DB2+DC2＝BC2，即2DC2＝BC2＝25，

∴DC＝DB＝，

∵△PBD∽△DCA，

∴，

則PB＝．