Question

【題目】如圖，在正方形中，為線段上的動點（不含端點），將沿著翻折得到，

（1）如圖1，當，求長；

（2）如圖2，為線段上的點，當時，求點由到的運動過程中，線段掃過的圖形與重疊部分的面積；

（3）如圖3，在上，連接，將沿著翻折得到，連結，問是否存在點，使得與相似？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）重疊部分的面積是；（3）存在，．

【解析】

（1）連接，根據折疊的性質證是等邊三角形即可求解；

（2）因為在運動的過程中始終都等于DA，即點到D點的距離是定值，故在點由到的運動過程中，掃過的圖形是以D為圓心，以DA為半徑的扇形，由此確定掃過的圖形與重合部分是弓形，△（恰好在CF上時）是等邊三角形，根據扇形及三角形的面積公式求解即可；

（3）先根據與相似，判定是直角三角形，分時、時兩種情況討論求解即可．

（1）如圖，連接，

根據折疊的性質可得：

是等邊三角形

（2）如圖，

∵四邊形ABCD是正方形

∴∠BCD=90°，CD=AD=AB=2

∵

∴∠FCD=60°

在點由到的運動過程中，掃過的圖形是扇形，

當與B重合時，點與重合，

∴掃過的圖形與重合部分是弓形，

當運動到如圖位置時（恰好在CF上時），=DC

∴△是等邊三角形，這時

過DE⊥CF于E點

重疊部分的面積是：

（3） 如圖，

與關于對稱

又

由折疊可知，

若與相似，則必是直角三角形

①當時

②當時，此時落在上，

過作，

在中，

又在上

與矛盾

綜上所述