Question

【題目】如圖，在平行四邊形中，，，是上一動點，過作的垂線交于，將折疊得到，延長交于，連接．

(1)求證：；

(2)當時，證明是等腰三角形；

(3)若，，求的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)見解析； (3)

【解析】

(1)先證B、D、F在一條直線上，再證明∠PDG=∠BEG，接著證∠PDG=∠F得到PD=PF，再證∠ADP =∠DHP得到PD=PH，用等量替換即刻得到答案；
(2)先根據以及得到∽，再證明以及得到AD=AP，即可得到是等腰三角形；

(3)先根據， ，得到，再計算DP的長度，利用勾股定理即可得到DE的長．

解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠PBC=180°，
∵∠A=45°，
∴∠PBC=135°，
由折疊知，∠PBF=∠PBE=135°，
∵，
∴∠ABD=45°，
∴∠ABD+∠PBF=180°，
∴點F在DB的延長線上，

即：B、D、F在一條直線上，

如圖，把PE與DF的交點記為G，

∵∠ABD=45°，∠PBC=135°，

∴∠DBE=90°，

∴∠BEG+∠BGE=90°，∠BGE=∠PGD，

又∵過作的垂線交于，
∴∠PDG+∠PGD=90°，

∴∠PDG=∠BEG（等量替換），

又∵∠BEG=∠F，

∴∠PDG=∠F（等量替換），

∴PD=PF，
∵∠GDP+∠ADP=90°，∠F+∠DHP=90°，
∴∠ADP =∠DHP（等量替換），
∴PD=PH，
∴PF=PH；

(2)根據以及得到：

∽，

∴，

∴

∴，

∴

∴；

(3)∵， ，，

∴

∴（勾股定理），

又∵，

∴，

作于，

根據等面積法： ，

∴

∴，

∴ ，

∴，

∴，

又∵△DPE是等腰直角三角形，

∴，

∴．