Question

已知：如圖，正方形ABCD的邊長為2a，H是以BC為直徑的半圓O上一點，過H與圓O相切的直線交AB于E，交CD于F．
（1）當點H在半圓上移動時，切線EF在AB、CD上的兩個交點也分別在AB、CD上移動（E、A不重合，F、D不重合），試問：四邊形AEFD的周長是否也在變化？證明你的結論；
（2）設△BOE的面積為S₁，△COF的面積為S₂，正方形ABCD的面積為S，且S₁+S₂=

13

48

S，求BE與CF的長．

Answer 1

分析：（1）根據切線長定理證明周長為定值；
（2）根據面積公式，由S₁+S₂=

13

48

S得BE、CF的關系式；證明△EBO∽△OCF得BE、CF的又一關系式．解方程組求解．

解答：解：（1）由題意知，AB、CD、EF都與半圓相切，
∴EH=EB，FH=CF．
∴四邊形AEFD的周長=AE+EH+HF+DF+AD=AE+EB+FC+DF+AD=6a．
∴四邊形AEFD的周長是定值，沒有變化．

（2）∵EO平分∠BEH，FO平分∠CFH，
∴OF⊥EO．
∵∠EOB、∠OFC同為∠FOC的余角，∴∠EOB=∠OFC．
又∠EBO=∠OCF=90°，
∴△EBO∽△OCF．
∴

EB

OC

=

OB

CF

，即EB•CF=OC•OB=a²…①
∵S₁+S₂=

13

48

S，
∴

1

2

OB•BE+

1

2

OC•CF=

13

48

•4a²．
即BE+CF=

13

6

a…②
解①②得BE=

3

2

a，FC=

2

3

a；或BE=

2

3

a，FC=

3

2

a．

點評：此題考查了切線的性質、相似三角形的判定和性質等知識點，綜合性較強，難度偏上．