Question

【題目】已知：如圖，直線PA交⊙O于A、E兩點，PA的垂線DC切⊙O于點C，過A點作⊙O的直徑AB．

（1）求證：AC平分∠DAB；

（2）若DC=4，DA=2，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）⊙O的直徑為10．

【解析】

試題分析：（1）由弦切角定理知，∠DCA=∠B，故Rt△ADC∽Rt△ACB，則有∠DAC=∠CAB；

（2）由勾股定理求得AC的值后，由（1）中Rt△ADC∽Rt△ACB得=，即可求得AB的值．

（1）證明：方法一：連接BC，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

又∵DC切⊙O于C點，

∴∠DCA=∠B，

∵DC⊥PE，

∴Rt△ADC∽Rt△ACB，

∴∠DAC=∠CAB，即AC平分∠DAB；

方法二：連接CO，

因為DC與⊙O相切，

所以DC⊥CO，

又因為PA⊥CD，

所以CO∥PE，

所以∠ACO=∠CAO=∠CAD，即AC平分∠DAB

（2）解：在Rt△ADC中，AD=2，DC=4，

∴AC==2，

由（1）得Rt△ADC∽Rt△ACB，

∴=，

即AB===10，

∴⊙O的直徑為10．