Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣（x﹣m）2+4（m＞0）的頂點為A，與直線x＝相交于點B，點A關于直線x＝的對稱點為C．

（1）若拋物線y＝﹣（x﹣m）2+4（m＞0）經過原點，求m的值．

（2）點C的坐標為　 　．用含m的代數式表示點B到直線AC的距離為　 　．

（3）將y＝﹣（x﹣m）2+4（m＞0，且x≥）的函數圖象記為圖象G，圖象G關于直線x＝的對稱圖象記為圖象H．圖象G與圖象H組合成的圖象記為圖象M．

①當圖象M與x軸恰好有三個交點時，求m的值．

②當△ABC為等腰直角三角形時，直接寫出圖象M所對應的函數值小于0時，自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）m＝2．（2）（0，4），；（3）①m＝4，②x＜﹣2或x＞4．

【解析】

(1)將原點坐標代入解出即可.

(2)根據頂點公式算出C點坐標即可,算出AC的解析式,再求出B到AC的距離.

(3)①畫出圖象即可看出B的坐標,列式計算即可;②分別表示出A、B、C的坐標,令BE=AE代入算出結果.

（1）∵拋物線y＝﹣（x﹣m）2+4（m＞0）經過原點，

∴0＝﹣（0﹣m）2+4，

解得 m1＝2，m2＝﹣2，

∵m＞0，

∴m＝2．

（2）∵拋物線y＝﹣（x﹣m）2+4（m＞0），

∴頂點A坐標為（m，4），

∵點A關于直線x＝的對稱點為C．

∴點C的坐標為（0，4）；

∴直線AC解析式為y＝4，

當x＝時，y＝﹣+4，

∴點B（，﹣+4），

∴點B到直線AC的距離為，

故答案為：（0，4），；

（3）①如圖，當圖象M與x軸恰好有三個交點時，

∴點 B在x軸上，且點B（，﹣+4），

∴0＝﹣+4

∴m1＝4，m2＝﹣4（舍去）

②∵△ABC為等腰直角三角形，

∴BE＝CE＝AE＝AC，

∵B（，﹣+4），A（m，2），C（0，2），（m＞0）

∴BE＝，AE＝||＝，

∴＝

∴m1＝2，m2＝0（不合題意舍去），

∴拋物線解析式為：y＝﹣（x﹣2）2+4，

當y＝0時，0＝﹣（x﹣2）2+4，

∴x1＝0＜＝1（不合題意舍去），x2＝4，

∴圖象G與x軸的交點為（4，0），且圖象G關于直線x＝的對稱圖象記為圖象H．

∴圖象H與x軸的交點為（﹣2，0），

∴圖象M與x軸的交點為（﹣2，0）與（4，0），

∵圖象M所對應的函數值小于0，

∴x＜﹣2或x＞4．