Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AE⊥BC于點E，AB的垂直平分線GF交BC于點F，交AB于點G，連接AF．已知AD=1.4，AF=5，GF=4．
（1）求梯形ABCD的腰AB的長；
（2）求梯形AFCD的面積．

Answer 1

分析：（1）在Rt△AGF中，利用勾股定理即可求得AG的長，又由GF垂直平分AB，即可求得AB的長；
（2）利用三角函數的知識，即可求得sinB與cosB的值，在Rt△ABE中，即可求得AE與BE的長，在Rt△AFE中，求得EF的長，即可求得CF的長，則可得梯形AFCD的面積．

解答：解：（1）在Rt△AGF中，AF=5，GF=4，
∴AG=

AF2-GF2

=

52-42

=3．
又∵GF垂直平分AB，
∴AB=2AG=6；

（2）∵GF垂直平分AB，
∴BF=AF=5．
∴∠B=∠FAG．
由（1）知：sinB=sin∠FAG=

GF

AF

=

4

5

，
∴cosB=

3

5

．
在Rt△ABE中，AE=AB•sinB=6×

4

5

=

24

5

，
BE=AB•cosB=6×

3

5

=

18

5

．
在Rt△AFE中，AF=5，AE=

24

5

，
可求得EF=AD=1.4．
∴CF=2BE+EF-BF=2×

18

5

+1.4-5=3.6，
梯形AFCD的面積為：

1

2

（AD+CF）•AE=

1

2

×（1.4+3.6）×

24

5

=12．

點評：此題考查了垂直平分線，三角函數，勾股定理以及梯形的面積的求解方法等知識．題目綜合性較強，圖形也較復雜，但難度不大，注意數形結合思想的應用．