Question

【題目】如圖，已知直線l的解析式為y=x﹣1，拋物線y=ax2+bx+2經過點A（m，0），B（2，0），D（1，）三點．

（1）求拋物線的解析式及A點的坐標，并在圖示坐標系中畫出拋物線的大致圖象；

（2）已知點 P（x，y）為拋物線在第二象限部分上的一個動點，過點P作PE垂直x軸于點E，延長PE與直線l交于點F，請你將四邊形PAFB的面積S表示為點P的橫坐標x的函數，并求出S的最大值及S最大時點P的坐標；

（3）將（2）中S最大時的點P與點B相連，求證：直線l上的任意一點關于x軸的對稱點一定在PB所在直線上．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+2，（﹣4，0）．見解析；（2）S的最大值是12，此時點P的坐標為（﹣2，2）；（3）見解析

【解析】

試題分析：（1）根據待定系數法可求拋物線的解析式，再根據A（m，0）在拋物線上，得到0=﹣m2﹣m+2，解方程即可得到m的值，從而得到A點的坐標；

（2）根據四邊形PAFB的面積S=ABPF，可得S=﹣（x+2）2+12，根據函數的最值可得S的最大值是12，進一步得到點P的坐標為；

（3）根據待定系數法得到PB所在直線的解析式為y=﹣x+1，設Q（a，a﹣1）是y=x﹣1上的一點，則Q點關于x軸的對稱點為（a，1﹣a），將（a，1﹣a）代入y=﹣x+1顯然成立，依此即可求解．

解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+2經過點B（2，0），D（1，），

∴，

解得a=﹣，b=﹣，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+2，

∵A（m，0）在拋物線上，

∴0=﹣m2﹣m+2，

解得：m1=﹣4，m2=2（舍去），

∴A點的坐標為（﹣4，0）．

如圖所示：

（2）∵直線l的解析式為y=x﹣1，

∴S=ABPF

=×6PF

=3（﹣x2﹣x+2+1﹣x）

=﹣x2﹣3x+9

=﹣（x+2）2+12，

其中﹣4＜x＜0，

∴S的最大值是12，此時點P的坐標為（﹣2，2）；

（3）∵直線PB經過點P（﹣2，2），B（2，0），

∴PB所在直線的解析式為y=﹣x+1，

設Q（a，a﹣1）是y=x﹣1上的一點，

則Q點關于x軸的對稱點為（a，1﹣a），

將（a，1﹣a）代入y=﹣x+1顯然成立，

∴直線l上的任意一點關于x軸的對稱點一定在PB所在直線上．