Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．M、N在對(duì)角線AC上，且AM=CN，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)．

（1）求證：△ABM≌△CDN；

（2）點(diǎn)G是對(duì)角線AC上的點(diǎn)，∠EGF=90°，求AG的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AG的長為1或4．

【解析】

（1）根據(jù)四邊形的性質(zhì)得到AB∥CD，求得∠MAB=∠NCD．根據(jù)全等三角形的判定定理得到結(jié)論；
（2）連接EF，交AC于點(diǎn)O．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EO=FO，AO=CO，于是得到結(jié)論．

（1）證明∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠MAB = ∠NCD．

在△ABM和△CDN中，

∴△ABM≌△CDN；

（2）解：如圖，連接EF，交AC于點(diǎn)O．

在△AEO和△CFO中，

∴△AEO≌△CFO，∴EO=FO，AO=CO，∴O為EF、AC中點(diǎn)．

∵∠EGF=90°，，∴AG=OA-OG =1或AG=OA+OG=4，

∴AG的長為1或4．