Question

【題目】如圖，在Rt中，∠ACB=90°，，AC=4；D是BC的延長線上一個動點，∠EDA=∠B，AE//BC.

（1）找出圖中的相似三角形，并加以證明；

（2）設，，求關于的函數解析式，并寫出函數的定義域；

（3）當為等腰三角形時，求AE的長.

Answer 1

【答案】（1）△ADE△DBA；（2）；（3）4或.

【解析】

（1）△ADE∽△DBA，理由為：由AE平行于BC，利用兩直線平行內錯角相等得到一組對角相等，再由已知的一對角相等，利用兩組對應角相等的兩三角形相似可得證；
（2）在直角三角形ABC中，利用銳角三角函數定義表示出sinB，將AC及sinB的值代入，求出AB的長，進而利用勾股定理求出BC的長，由（1）得出的兩三角形相似得出比例式，設CD=x，AE=y，由BD=BC+BD表示出BD，再由AC及CD的長，利用勾股定理表示出AD，將各自的值代入比例式，整理后即可得到y與x的關系式，并根據邊CD大于0得到x大于0，即為函數的定義域；
（3）當△ADE為等腰三角形，分三種情況考慮：AE=AD；AE=DE；AD=DE，分別利用相似得比例及勾股定理即可求出AE的長．

(1)△ADE∽△DBA，理由為：

證明：∵AE∥BC，

∴∠EAD=∠ADB，

∵∠EDA=∠B，

∴△ADE∽△DBA；

(2)∵在Rt△ABC中,∠C=90°, ，AC=4，

∴，

∴，

∵△ADE∽△DBA，

∴，

設CD=x，AE=y，

則

∴

；

(3)分三種情況考慮：

當△ADE為等腰三角形，且AE=AD時，如圖所示：

∵△ADE∽△DBA，

∴△DBA也為等腰三角形，即DB=DA，此時四邊形ABDE為平行四邊形，

設AE=AD=BD=a，則有CD=BDBC=a3，

在Rt△ACD中,根據勾股定理得：AD2=AC2+CD2,即a2=42+(x3)2，

解得：x=，

此時AE=；

當△ADE為等腰三角形，且AE=DE時，如圖所示：

∵△ADE∽△DBA，

∴AD=AB=5，

在Rt△ACD中，AC=4，AD=5，

根據勾股定理得：CD=3，

故BD=BC+CD=3+3=6，

∴,即，

解得：AE=；

當△ADE為等腰三角形，且AD=DE時，如圖所示：

∵△ADE∽△DBA，

∴BD=AB=5，

故CD=BDBC=53=2，

在Rt△ACD中，AC=4，CD=2，

根據勾股定理得：AD=，

∴,即，

解得：AE=4，

綜上,AE的值為4或.