Question

（2013•黃石模擬）在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在直線BC上，且ED=EC，若三角形ABC的邊長為1，AE=2，則CD的長為

1或3

．

Answer 1

分析：當E在線段BA的延長線上，D在線段BC的延長線上時，如圖1所示，過E作EF⊥BD，垂足為F點，由EC=ED，利用三線合一得到F為CD的中點，再由三角形ABC為等邊三角形，利用等邊三角形的性質得到∠ABC=60°，可得出∠BEF=30°，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半，根據EB的長求出BF的長，由BF-BC求出CF的長，即可得到CD的長；
當E在線段AB的延長線上，D在線段CB的延長線上時，如圖2所示，過E作EF⊥BD，垂足為F點，由EC=ED，利用三線合一得到F為CD的中點，再由三角形ABC為等邊三角形，利用等邊三角形的性質得到∠ABC=∠EBF=60°，可得出∠BEF=30°，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半，根據EB的長求出BF的長，由BF+BC求出CF的長，即可得到CD的長．

解答：
解：當E在線段BA的延長線上，D在線段BC的延長線上時，如圖1所示，
過E作EF⊥BD，垂足為F點，可得∠EFB=90°，
∵EC=ED，∴F為CD的中點，即CF=DF=

1

2

CD，
∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC=60°，
∴∠BEF=30°，
∵BE=AB+AE=1+2=3，
∴FB=

1

2

EB=

3

2

，
∴CF=FB-BC=

1

2

，
則CD=2CF=1；
當E在線段AB的延長線上，D在線段CB的延長線上時，如圖2所示，
過E作EF⊥BD，垂足為F點，可得∠EFC=90°，
∵EC=ED，∴F為CD的中點，即CF=DF=

1

2

CD，
∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC=∠EBF=60°，
∴∠BEF=30°，
∵BE=AE-AB=2-1=1，
∴FB=

1

2

BE=

1

2

，
∴CF=BC+FB=

3

2

，
則CD=2CF=3，
綜上，CD的值為1或3．
故答案為：1或3

點評：此題考查了等邊三角形的性質，含30度直角三角形的性質，利用了分類討論的思想，熟練掌握等邊三角形的性質是解本題的關鍵．