Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，點E是AD邊上一點，BE＝BC.

（1）求證：EC平分∠BED.
（2）過點C作CF⊥BE，垂足為點F，連接FD，與EC交于點O，求FD·EC的值.

Answer 1

【答案】
（1）證明：

∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∵BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE，
∴∠DEC=∠BEC，
即EC平分∠BED．
（2）如圖所示：

∵CF⊥EB，CD⊥ED，EC平分∠BED，
∴DE=EF，
在Rt△ABE中，∵AB=3，BE=BC=5，
∴AE= =4，
∴DE=1，
在Rt△ECD和Rt△ECF中，
，
∴Rt△ECD≌Rt△ECF，
∴ED=EF=1，∵CF=CD=3，
∴EC垂直平分線段DF，
∴S四邊形EFCD=2S△EDC= ECDF，
∴ ECDF=2× ×3×1=3，
∴ECDF=6．
【解析】（1）根據已知BE＝BC，可證出∠BEC=∠BCE，再根據矩形的性質及平行線的性質得出∠DEC=∠BCE，就可得到∠DEC=∠BEC，即可征得結論。
（2）根據角平分線的性質證明DE=EF，利用直角三角形全等的判定方法證明Rt△ECD≌Rt△ECF，得出CF=CD，再利用勾股定理求出AE的長，就可求出DE的長，再求出△ECD的面積，然后根據S四邊形EFCD=2S△EDC ， 即可求出結果。
【考點精析】認真審題，首先需要了解角的平分線(從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線)，還要掌握角平分線的性質定理(定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上)的相關知識才是答題的關鍵．