（本小題10分）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN、AM、CM.
（Ⅰ） 求證：△AMB≌△ENB；
（Ⅱ） ①當M點在何處時，AM＋CM的值最小；
②當M點在何處時，AM＋BM＋CM的值最小，并說明理由；
（Ⅲ） 當AM＋BM＋CM的最小值為時，求正方形的邊長.
解：⑴∵△ABE是等邊三角形，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°.
∵∠MBN＝60°，
∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.
即∠ABM＝∠NBE.
又∵MB＝NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）. ………………3分
⑵①當M點落在BD的中點時，AM＋CM的值最小. ………………5分
②如圖，連接CE，當M點位于BD與CE的交點處時，
AM＋BM＋CM的值最小. ………………7分
理由如下：連接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN.
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，
∴△BMN是等邊三角形.
∴BM＝MN.
∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.
根據“兩點之間線段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短
∴當M點位于BD與CE的交點處時，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的長. …………8分
⑶過E點作EF⊥BC交CB的延長線于F，
∴∠EBF＝90°－60°＝30°.
設正方形的邊長為x，則BF＝x，EF＝
.
在Rt△EFC中，
∵EF2＋FC2＝EC2，
∴（）2＋（
x＋x）2＝
.
解得，x＝（舍去負值）.
∴正方形的邊長為. ………………10分
解析:略
科目：初中數學 來源： 題型：
（11·湖州）（本小題10分）
如圖，已知E、F分別是□ABCD的邊BC、AD上的點，且BE=DF。
⑴求證：四邊形AECF是平行四邊形；
⑵若BC=10，∠BAC=90°，且四邊形AECF是菱形，求BE的長。
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科目：初中數學 來源： 題型：
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科目：初中數學 來源：2011-2012學年江蘇省啟東市九年級寒假作業檢測數學卷 題型：解答題
（本小題10分）
如圖，拋物線
與x軸交與A(1,0),B(- 3，0)兩點，
1.（1）求該拋物線的解析式；
2.（2）拋物線交y軸與C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由.
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科目：初中數學 來源：2012屆北京一六三中初三上學期模擬數學卷 題型：解答題
（本小題10分）如圖, 拋物線
與x軸的一個交點是A，與y軸的交點是B，且OA、OB（OA＜OB）的長是方程
的兩個實數根.
1.(1)求A、B兩點的坐標；
2. (2) 求出此拋物線的的解析式及頂點D的坐標；
3.(3)求出此拋物線與x軸的另一個交點C的坐標;
4.(4)在直線BC上是否存在一點P，使四邊形PDCO為梯形？若存在，求出P點坐標，若不存在，說明理由.
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科目：初中數學 來源：2011年初中畢業升學考試（四川內江卷）數學 題型：解答題
（本小題10分）如圖11，已知二次函數y= -x2 +mx +4m的圖象與x軸交于
A(x1，0)，B(x2，0)兩點(B點在A點的右邊)，與y軸的正半軸交于點C，且(x1+x2) - x1x2=10.
（1）求此二次函數的解析式.
（2）寫出B，C兩點的坐標及拋物線頂點M的坐標；
（3）連結BM，動點P在線段BM上運動（不含端點B，M），過點P作x軸的垂線，垂足為H，設OH的長度為t，四邊形PCOH的面積為S.請探究：四邊形PCOH的面積S有無最大值？如果有，請求出這個最大值；如果沒有，請說明理由.
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