Question

【題目】已知x1 ， x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的實數根（x1 ， x2可相等）
（1）證明方程的兩根都小于0；
（2）當實數k取何值時x12+x22最大？并求出最大值．

Answer 1

【答案】（1）證明：∵△=（k﹣2）2﹣4（k2+3k+5）≥0，
∴﹣4≤k≤﹣，
∵x1+x2=k﹣2，x1x2=k2+3k+5，
∴x1+x2=k﹣2＜0，x1x2=k2+3k+5＞0，
∴方程的兩根都小于0；
（2）解：x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（k﹣2）2﹣2（k2+3k+5）=﹣k2﹣10k﹣6=﹣（k+5）2+19，
∵﹣4≤k≤﹣，
∴k=﹣4時，x12+x22有最大值，最大值為﹣（﹣4+5）2+19=18．
【解析】（1）根據判別式的意義得到△=（k﹣2）2﹣4（k2+3k+5）≥0，解此不等式得到﹣4≤k≤﹣ ， 再由根與系數的關系得x1+x2=k﹣2，x1x2=k2+3k+5，利用k的取值范圍有x1+x2=k﹣2＜0，x1x2=k2+3k+5＞0，于是利用有理數的性質即可判斷方程的兩根都小于0；
（2）利用完全平方公式得到x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（k﹣2）2﹣2（k2+3k+5）=﹣（k+5）2+19，然后根據二次函數的最值問題求解．
【考點精析】本題主要考查了求根公式和根與系數的關系的相關知識點，需要掌握根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商才能正確解答此題．