Question

【題目】（1）已知，如圖①，在平行四邊形ABCD中，E、F是對角線BD上的兩點，且BF＝DE．求證：AE＝CF；

（2）已知，如圖②，AB是⊙O的直徑，CA與⊙O相切于點A．連接CO交⊙O于點D，CO的延長線交⊙O于點E．連接BE、BD，∠ABD＝30°，求∠EBO和∠C的度數．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）60°，30°．

【解析】

（1）先證明△BCF≌△DAE，再利用全等三角形的性質可得出：AE=CF；
（2）先求出∠EBO，再利用同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍，可求出∠AOC，從而求出∠C的度數．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD＝BC，AD∥BC．

∴∠ADE＝∠FBC．

在△ADE和△CBF中，

∵AD＝BC，∠ADE＝∠FBC，DE＝BF，

∴△ADE≌△CBF．

∴AE＝CF．

（2）解：∵DE是⊙O的直徑，

∴∠DBE＝90°．

∵∠ABD＝30°，

∴∠EBO＝∠DBE﹣∠ABD＝90°﹣30°＝60°．

∵AC是⊙O的切線，

∴∠CAO＝90°．

又∠AOC＝2∠ABD＝60°，

∴∠C＝180°﹣∠AOC﹣∠CAO＝180°﹣60°﹣90°＝30°．