Question

【題目】如圖，一拱形公路橋，圓弧形橋拱的水面跨度AB＝80 m，橋拱到水面的最大高度為20 m.(1)求橋拱的半徑．

(2)現有一艘寬60 m，頂部截面為長方形且高出水面9 m的輪船要經過這座拱橋，這艘輪船能順利通過嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) 橋拱的半徑為50 m；（2）這艘輪船能順利通過，理由見解析.

【解析】試題分析：

(1)找到圓的圓心E，過點E作EF⊥AB于點F，延長EF交于點C，連接AE，在Rt△AEF中用勾股定理求AE的長；

(2)連接EM，設EC與MN的交點為D，在Rt△DME中，用勾股定理求出DE，再求DF的長，比較DF與9的大小，即可求解.

試題解析：

(1)如圖，點E是橋拱所在圓的圓心．過點E作EF⊥AB于點F，

延長EF交于點C，連接AE，則CF＝20 m．由垂徑定理知，F是AB的中點，

∴AF＝FB＝AB＝40 m.設半徑是r m，由勾股定理，得AE2＝AF2＋EF2＝AF2＋(CE－CF)2，即r2＝402＋(r－20)2.解得r＝50.∴橋拱的半徑為50 m.

(2)這艘輪船能順利通過．理由如下：

當寬60 m的輪船剛好可通過拱橋時，如圖，MN為輪船頂部的位置．

連接EM，設EC與MN的交點為D，

則DE⊥MN，∴DM＝30 m，∴DE＝＝＝40(m)．

∵EF＝EC－CF＝50－20＝30(m)，∴DF＝DE－EF＝40－30＝10(m)．

∵10 m>9 m，∴這艘輪船能順利通過．