Question

【題目】如圖所示，已知直線y＝kx+m與x軸、y軸分別交于A、C兩點，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過A、C兩點，點B是拋物線與x軸的另一個交點，當x＝﹣時，y取最大值．

（1）求拋物線和直線的解析式；

（2）設點P是直線AC上一點，且S△ABP：S△BPC＝1：3，求點P的坐標；

（3）若直線y＝x+a與（1）中所求的拋物線交于M、N兩點，問：

①是否存在a的值，使得∠MON＝90°？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由；

②猜想當∠MON＞90°時，a的取值范圍（不寫過程，直接寫結論）．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+6，y＝2x+6；（2）點P（﹣ ， ）或P（﹣，﹣3）；（3）①a＝﹣3或a＝，②﹣3＜a＜

【解析】

（1）先根據直線的解析式求出A、C的坐標，然后將A、C的坐標代入拋物線中即可求出拋物線的解析式，進而可根據拋物線的解析式求出B點的坐標．

（2）根據等高三角形的面積比等于底邊比，因此兩三角形的面積比實際是AP：PC＝1：3，即3AP＝PC，可先求出AC的長，然后分情況討論：

①當P在線段AC上時，AP+PC＝AC，3AP＝PC，據此可求出AP的長，然后根據∠CAB的三角函數值或通過構建相似三角形可求出P點的坐標．

②當P在CA的延長線上時，CP﹣AP＝AC，3AP＝PC，據此可求出AP的長，后面同①．

（3）①設直線y＝ x+a與拋物線y＝﹣x2﹣x+6的交點為M（xM，yM），N（xN，yN）（M在N左側），由Rt△MM′O∽Rt△ON′N，推出 ，即MM′NN′＝ON′OM′，推出﹣xMxN＝yMyN，由方程組消去y整理，得：x2+ x+a﹣6＝0，再利用根與系數關系，列出方程即可解決問題．

②利用①的結果即可判斷．

解：（1）當x＝0時，y＝6，

∴C（0，6），

當y＝0時，x＝﹣3，

∴A（﹣3，0），

∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點A、C，

∴，

解得：．

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+6，

當y＝0時，整理得x2+x﹣6＝0，

解得：x1＝2，x2＝﹣3，

∴點B（2，0）．

（2）過點B作BD⊥AC，D為垂足，

∵S△ABP：S△BPC＝1：3，

∴＝ ，

∴AP：PC＝1：3

由勾股定理，得AC＝＝3 ，

當點P為線段AC上一點時，過點P作PH⊥x軸，點H為垂足，

∵PH∥OC，

∴ ＝ ，

∴PH＝ ，

∴ ＝2x+6，

∴x＝﹣ ，

∴點P（﹣ ， ）

當點P在CA延長線時，作PG⊥x軸，點G為垂足

∵AP：PC＝1：3

∴AP：AC＝1：2，

∴＝，

∴PG＝3，

∴﹣3＝2x+6

x＝﹣，

∴點P（﹣，﹣3）．

（3）①存在a的值，使得∠MON＝90°，

設直線y＝x+a與拋物線y＝﹣x2﹣x+6的交點為M（xM，yM），N（xN，yN）（M在N左側）

則 為方程組 的解

分別過點M、N作MM’⊥x軸，NN′⊥x軸，點M、N為垂足．

∴M′（xM，0），N′（xN，0），

∴OM′＝﹣xMON′＝xN

∵∠MON＝90°，

∴∠MOM′+∠NON′＝90°，

∵∠M′MO+∠MOM′＝90°，

∴∠M’MO＝∠NON’

∴Rt△MM′O∽Rt△ON′N，

∴，

∴MM′NN′＝ON′OM′，

∴﹣xMxN＝yMyN，

由方程組消去y整理，得：x2+x+a﹣6＝0．

∴xM、xN是方程x2+x+a﹣6＝0的兩個根，

由根與系數關系得，xM+xN＝﹣，xMxN＝a﹣6

又∵yMyN＝（ xM+a）（ xN+a）＝xMxN+（xM+xN）+a2＝（a﹣6）﹣a+a2

∴﹣（a﹣6）＝（a﹣6）﹣a+a2，

整理，得2a2+a﹣15＝0

解得a1＝﹣3，a2＝，

∴存在a值，使得∠MON＝90°，其值為a＝﹣3或a＝．

②由①可知，當∠MON＞90°時，a的取值范圍為﹣3＜a＜．