Question

【題目】如圖，已知⊙C過菱形ABCD的三個頂點B，A，D，連結BD，過點A作AE∥BD交射線CB于點E．

（1）求證：AE是⊙C的切線．

（2）若半徑為2，求圖中線段AE、線段BE和圍成的部分的面積．

（3）在（2）的條件下，在⊙C上取點F，連結AF，使∠DAF＝15°，求點F到直線AD的距離．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2﹣π；（3）距離為2﹣或﹣1

【解析】

（1）連接AC．證明AE⊥AC即可解決問題；

（2）證明△ABC是等邊三角形，推出∠ACB＝60°，AE＝ACtan60°＝，根據S陰＝S△AEC﹣S扇形ACB求解即可；

（3）分兩種情形：①如圖2中，當點F在上時．②如圖3中，當點F在優弧上時，分別求解即可．

（1）證明：如圖1中，連結AC，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

又∵BD∥AE，

∴AC⊥AE，

∴AE是⊙O的切線；

（2）如圖1中，∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB＝BC，

又∵AC＝BC，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠ACB＝60°，

∵AC＝2，

∴AE＝ACtan60°＝，

∴S陰＝S△AEC﹣S扇形ACB＝×2×﹣＝2﹣π；

（3）①如圖2中，當點F在上時，

∵∠DAF＝15°，

∴∠DCF＝30°，

∵∠ACD＝60°，

∴∠ACF＝∠FCD，

∴點F是弧AD的中點，

∴CF⊥AD，

∴點F到直線AD的距離＝CF﹣CAcos30°＝2﹣；

②如圖3中，當點F在優弧上時，

∵∠DAF＝15°，

∴∠DCF＝30°，

過點C作CG⊥AD于D，過點F作FH⊥CG于H，

可得∠AFH＝15°，∠HFC＝30°，

∴CH＝1，

∴點F到直線AD的距離＝CG﹣CH＝ACcos30°﹣CH＝﹣1，

綜上所述，滿足條件的點F到直線AD的距離為2﹣或﹣1．