Question

【題目】如圖，在半徑為2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，點C是弧AB上的一個動點(不與點A，B重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D，E.

(1)當BC＝1時，求線段OD的長；

(2)在△DOE中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度，如果不存在，請說明理由；

(3)設BD＝x，△DOE的面積為y，求y關于x的函數表達式，并寫出自變量的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）OD= （2）DE=，長度不變（3）y=（0＜x＜）

【解析】試題分析：（1）根據OD⊥BC可得出BD=BC=，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出OD的長；

（2）連接AB，由△AOB是等腰直角三角形可得出AB的長，再根據D和E是中點可得出DE=；

（3）由BD=x，可知OD=，由于∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=45°，過D作DF⊥OE，DF=，EF=x即可得出結論．

試題解析：（1）如圖（1），∵OD⊥BC，∴BD=BC=，∴OD==；

（2）如圖（2），存在，DE是不變的．

連接AB，則AB==2，

∵D和E分別是線段BC和AC的中點，

∴DE=AB=；

（3）如圖（3），連接OC，

∵BD=x，

∴OD=，

∵∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠2+∠3=45°，

過D作DF⊥OE．

∴DF==，由（2）已知DE=，

∴在Rt△DEF中，EF==，

∴OE=OF+EF=+=

∴y=DFOE=

=（0＜x＜）．