Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+4交x軸于點A、B，交y軸于點C，連結AC，BC，D是線段OB上一動點，以CD為一邊向右側作正方形CDEF，連結BF，交DE于點P.

(1)試判斷△ABC的形狀，并說明理由；

(2)求證：BF⊥AB.

(3)當點D從點O沿x軸正方向移動到點B時，點E所走過的路線長為______；

(4)探究當點D在何處時，△FBC是等腰三角形，并求出相應的BF的長.

Answer 1

【答案】(1)△ABC是等腰直角三角形；理由見解析；(2)證明見解析；(3)；(4)AD＝CD時，BF＝4；AC＝AD時，BF＝4；AC＝BC時，BF＝8.

【解析】

(1)根據二次函數與坐標軸的交點的求法求出A、B、C，再求出OA、OB、OC，然后根據等腰直角三角形的判定解答；

(2)根據等腰直角三角形的性質和正方形的性質，求出AC＝BC，CD＝CF，∠ACD＝∠BCF，然后利用“邊角邊”證明△ACD和△BCF全等，根據全等三角形對應角相等可得∠CBF＝∠CAD＝45°，然后求出∠ABF＝90°，再根據垂直的定義證明即可；

(3)過點E作EH⊥x軸于H，連接BE，求出∠OCD＝∠HDE，然后利用“角角邊”證明△OCD和△HDE全等，根據全等三角形對應邊相等可得EH＝OD，OC＝DH，然后求出△BEH是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質表示出BE，從而判斷出點E走過的路線長為BC的長度，然后求解即可；

(4)根據全等三角形對應邊相等可得AD＝BF，利用勾股定理列式求出AC，然后分AD＝CD，AC＝AD，AC＝BC三種情況討論求解得到AD，即為FB的長.

(1)解：令x＝0，得y＝4，

∴C(0，4)，

令y＝0，則﹣x2+4＝0，

解得：x1＝4，x2＝﹣4，

∴A(﹣4，0)，B(4，0)，

∴OA＝OB＝OC＝4，

∴△ABC是等腰直角三角形；

(2)證明：如圖，

∵△ABC是等腰直角三角形，CDEF是正方形，

∴AC＝BC，CD＝CF，∠ACD＝∠BCF，

在△ACD和△BCF中，，

∴△ACD≌△BCF(SAS)，

∴∠CBF＝∠CAD＝45°，

∴∠ABF＝∠ABC+∠CBF＝90°，

∴BF⊥AB；

(3)如圖，過點E作EH⊥x軸于H，連接BE，

∵∠OCD+∠ODC＝∠HDE+∠ODC＝90°，

∴∠OCD＝∠HDE，

在△OCD和△HDE中，，

∴△OCD≌△HDE(AAS)，

∴EH＝OD，OC＝DH，

∵OD+BD＝OB＝OC，

BH+BD＝DH，

∴OD＝BH＝EH，

∴△BEH是等腰直角三角形，

∴BE＝EH，

∵點D從點O沿x軸正方向移動到點B，

∴點E所走過的路線長為為BC的長度，是4；

故答案為：4.

(4)∵△ACD≌△BCF，

∴AD＝BF，

由勾股定理得，AC＝＝＝4，

①若AD＝CD，則點O、D重合，BF＝AO＝4，

②若AC＝AD，則BF＝AD＝4，

③若AC＝BC，則BF＝AD＝AB＝8，

綜上所述，BF＝4或4或8.