Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣4，0），B（2，0），與y軸交于點C（0，2）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點D為該拋物線上的一個動點，且在直線AC上方，當以A，C，D為頂點的三角形面積最大時，求點D的坐標及此時三角形的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據題意設拋物線解析式為y=a（x+4）（x﹣2），

把C（0，2）代入得：﹣8a=2，即a=﹣ ，

則拋物線解析式為y=﹣ （x+4）（x﹣2）=﹣ x2﹣ x+2

（2）解：過點D作DH⊥AB于點H，交直線AC于點G，連接DC，AD，如圖所示，

設直線AC解析式為y=kx+t，則有 ，

解得： ，

∴直線AC解析式為y= x+2，

設點D的橫坐標為m，則G橫坐標也為m，

∴DH=﹣ m2﹣ m+2，GH= m+2，

∴DG=﹣ m2﹣ m+2﹣ m﹣2=﹣ m2﹣m，

∴S△ADC=S△ADG+S△CDG= DGAH+ DGOH= DGAO=2DG=﹣ m2﹣2m=﹣ （m2+4m）=﹣ [（m+2）2﹣4]=﹣ （m+2）2+2，

當m=﹣2時，S△ADC取得最大值2，此時yD=﹣ ×（﹣2）2﹣ ×（﹣2）+2=2，即D（﹣2，2）．

【解析】（1）根據A與B坐標設出拋物線解析式，將C坐標代入即可求出；（2）過點D作DH⊥AB于點H，交直線AC于點G，連接DC，AD，如圖所示，利用待定系數法求出直線AC解析式，設D橫坐標為m，則有G橫坐標也為m，表示出DH與GH，由DH﹣GH表示出DG，三角形ADC面積=三角形ADG面積+三角形DGC面積，表示出面積與m的關系式，利用二次函數性質確定出面積的最大值，以及此時m的值，即此時D的坐標即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的最值的相關知識，掌握如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a，以及對拋物線與坐標軸的交點的理解，了解一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．