Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，A，B為x軸上兩點，C、D為y軸上的兩點，經過點A，C，B的拋物線的一部分C2組合成一條封閉曲線，我們把這條封閉曲線成為“蛋線”．已知點C的坐標為（0，﹣ ），點M是拋物線C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的頂點．

（1）求A、B兩點的坐標；
（2）“蛋線”在第四象限上是否存在一點P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出△PBC面積的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y=mx2﹣2mx﹣3m=m（x﹣3）（x+1），且m≠0，

∴當y=0時，可得m（x﹣3）（x+1）=0，解得x1=﹣1，x2=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0）；

（2）

解：設過A、B、C三點的拋物線解析式為y=ax2+bx+c，

則有 ，解得 ，

∴拋物線C1解析式為y= x2﹣x﹣ ，

如圖，過點P作PQ∥y軸，交BC于Q，

設直線BC解析式為y=kx+s，則有 ，解得 ，

∴直線BC的解析式為y= x﹣ ，

設P（x， x2﹣x﹣ ），則Q（x， x﹣ ），

∴PQ= x﹣ ﹣（ x2﹣x﹣ ）=﹣ x2+ x，

∴S△PBC= PQOB= ×（﹣ x2+ x）×3=﹣ （x﹣ ）2+ ，

∵﹣ ＜0，

∴當x= 時，S△PBC有最大值，S最大= ，

×（ ）2﹣ ﹣ =﹣ ，此時P點坐標為（ ，﹣ ）．

【解析】（1）把拋物線解析整理，令y=0可求得x的值，則可求得A、B的坐標；（2）由A、B、C的坐標，可求得經過點A、B、C的拋物線解析式，連接BC、過點P作PQ∥y軸，交BC于點Q，由B、C的坐標可求得直線BC的解析式，則可設出P點坐標，從而表示出Q點坐標，則可求得PQ的長，從而用P點坐標表示出△PBC的面積，利用二次函數的性質可求得P點坐標和△PBC面積的最大值．
【考點精析】掌握二次函數的圖象和二次函數的性質是解答本題的根本，需要知道二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�