Question

【題目】如圖1，在直角坐標系中放入一個邊長AB長為3，BC長為5的矩形紙片ABCD，使得BC、AB所在直線分別與x、y軸重合．將紙片沿著折痕AE翻折后，點D恰好落在x軸上，記為F．

（1）求折痕AE所在直線與x軸交點的坐標；

（2）如圖2，過D作DG⊥AF，求DG的長度；

（3）將矩形ABCD水平向右移動n個單位，則點B坐標為（n，0），其中n＞0．如圖3所示，連接OA，若△OAF是等腰三角形，試求點B的坐標．

Answer 1

【答案】（1）折痕AE所在直線與x軸交點的坐標為（9，0）；（2）3；（3）點B（4，0）或B（1，0）．

【解析】

（1）根據四邊形ABCD是矩形以及由折疊對稱性得出AF＝AD＝5，EF＝DE，進而求出BF的長，即可得出E點的坐標，進而得出AE所在直線與x軸交點的坐標；

（2）判斷出△DAG≌△AFB，即可得出結論；

（3）分三種情況討論：若AO＝AF，OF＝FA，AO＝OF，利用勾股定理求出即可.

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD＝CB＝5，AB＝DC＝3，∠D＝∠DCB＝∠ABC＝90°，

由折疊對稱性：AF＝AD＝5，EF＝DE，

在Rt△ABF中，BF＝＝4，

∴CF＝1，

設EC＝x，則EF＝3﹣x，

在Rt△ECF中，12+x2＝（3﹣x）2，

解得：x＝，

∴E點坐標為：（5，），

∴設AE所在直線解析式為：y＝ax+b，

則，

解得：，

∴AE所在直線解析式為：y＝x+3，

當y＝0時，x＝9，

故折痕AE所在直線與x軸交點的坐標為：（9，0）；

（2）在△DAG和△AFB中

∵,

∴△DAG≌△AFB，

∴DG＝AB＝3；

（3）分三種情況討論：

若AO＝AF，

∵AB⊥OF，

∴BO＝BF＝4，

∴n＝4，

∴B（4，0），

若OF＝FA，則n+4＝5，

解得：n＝1，

∴B（1，0），

若AO＝OF，

在Rt△AOB中，AO2＝OB2+AB2＝m2+9，

∴（n+4）2＝n2+9，

解得：n＝（n＜0不合題意舍去），

綜上所述，若△OAF是等腰三角形，n的值為n＝4或1．

即點B（4，0）或B（1，0）．