Question

（2011•廣州）如圖1，⊙O中AB是直徑，C是⊙O上一點，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，點D在線段AC上．
（1）證明：B、C、E三點共線；
（2）若M是線段BE的中點，N是線段AD的中點，證明：MN=OM；
（3）將△DCE繞點C逆時針旋轉α（0°＜α＜90°）后，記為△D₁CE₁（圖2），若M₁是線段BE₁的中點，N₁是線段AD₁的中點，M₁N₁=OM₁是否成立？若是，請證明；若不是，說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵AB是直徑，
∴∠BCA=90°，
而等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，
∴∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°，
∴B、C、E三點共線；
（2）連接BD，AE，ON，延長BD交AE于F，如圖，

∵CB=CA，CD=CE，
∴Rt△BCD≌Rt△ACE，
∴BD=AE，∠EBD=∠CAE，
∴∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，即BD⊥AE，
又∵M是線段BE的中點，N是線段AD的中點，而O為AB的中點，
∴ON=BD，OM=AE，ON∥BD，AE∥OM；
∴ON=OM，ON⊥OM，即△ONM為等腰直角三角形，
∴MN=OM；
（3）成立．理由如下：
和（2）一樣，易證得Rt△BCD₁≌Rt△ACE₁，同里可證BD₁⊥AE₁，△ON₁M₁為等腰直角三角形，
從而有M₁N₁=OM₁．

略