Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且OA＝2，OC＝3．

（1）求拋物線的解析式；

（2）作Rt△OBC的高OD，延長OD與拋物線在第一象限內交于點E，求點E的坐標；

（3）①在x軸上方的拋物線上，是否存在一點P，使四邊形OBEP是平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

②在拋物線的對稱軸上，是否存在上點Q，使得△BEQ的周長最小？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+3；（2）（2，2）；（3）①存在，（﹣1，2）；②存在，（，）

【解析】

（1）先根據已知條件得出A點及C點坐標，利用待定系數法即可求出此拋物線的解析式；

（2）y＝0代入（1）中所求二次函數的解析式即可的出此函數與x軸的交點坐標，由OD平分∠BOC可知OE所在的直線為y＝x，再解此直線與拋物線組成的方程組即可求出E點坐標；

（3）①過點E作x軸的平行線與拋物線交于另一點P，連接BE、PO，把y＝2代入二次函數解析式即可求出P點坐標，進而可得出四邊形OBEP是平行四邊形；

②設Q是拋物線對稱軸上的一點，連接QA、QB、QE、BE，由QA＝QB可知△BEQ的周長等于BE+QA+QE，由A、E兩點的坐標可得出直線AE的解析式，再根據拋物線的對稱軸是x＝可求出Q點的坐標，進而可得出結論．

解：（1）∵OA＝2，

∴點A的坐標為（﹣2，0）．

∵OC＝3，

∴點C的坐標為（0，3）．

∵把（﹣2，0），（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得解得

∴拋物線解析式為y＝﹣x2+x+3；

（2）把y＝0代入y＝﹣x2+x+3，

解得x1＝﹣2，x2＝3

∴點B的坐標為（3，0），

∴OB＝OC＝3

∵OD⊥BC，

∴OD平分∠BOC

∴OE所在的直線為y＝x

解方程組得，，

∵點E在第一象限內，

∴點E的坐標為（2，2）．

（3）①存在，如圖1，過點E作x軸的平行線與拋物線交于另一點P，連接BE、PO，

把y＝2代入y＝﹣x2+x+3，

解得x1＝﹣1，x2＝2

∴點P的坐標為（﹣1，2），

∵PE∥OB，且PE＝OB＝3，

∴四邊形OBEP是平行四邊形，

∴在x軸上方的拋物線上，存在一點P（﹣1，2），使得四邊形OBEP是平行四邊形；

②存在，如圖2，設Q是拋物線對稱軸上的一點，連接QA、QB、QE、BE，

∵QA＝QB，

∴△BEQ的周長等于BE+QA+QE，

又∵BE的長是定值

∴A、Q、E在同一直線上時，△BEQ的周長最小，

由A（﹣2，0）、E（2，2）可得直線AE的解析式為y＝x+1，

∵拋物線的對稱軸是x＝

∴點Q的坐標為（，）

∴在拋物線的對稱軸上，存在點Q（，），使得△BEQ的周長最小．